① 數學思考，圖形的認識與測量（一）急快點求幫助阿
小學六年級數學下冊電子課本目錄1 負數2 圓柱與圓錐1. 圓柱2. 圓錐3 比例1. 比例的意義回和基本性質2. 正比例和答反比例的意義3. 比例的應用自行車里的數學4 統計5 數學廣角節約用水6 整理與復習1. 數與代數2. 空間與圖形3. 統計與概率4. 綜合應用[此電子課本僅供參考，如有不同，請以最新出版的紙質課本為准。]
② 什麼叫數學思考（初一的）
看完一下內容就知道了
(在再一次復習後，我不得不承認《攻殼機動隊》依然令我嚴重痴迷，關於機器和人，關於現實和虛擬空間的關系我早想寫點文字，前幾天看到的一則「圖靈對話」（下一篇文章將涉及這個專業術語）新聞更是激發了我清晰又混亂的思考，而圖靈機跟數學的形而下關系則是一切的核心。關於數學，還能說些什麼呢？無意間看到下面這段文字，覺得頗有意味，嘿嘿。)
LiAndy
前言：我很贊同pongba的純知識式思考，但是由於我知識量還不夠（可我在學），所以暫時還不能按照pongba方式去思考、學習。所以呢，我就把問題偷換成現在的樣子了：《數學是如何思考的》。一個很直觀的想法就是：只有更深入的理解一種』機制』是如何思考的，那麼你就能猜測出這個』機制 』下一步要干什麼，這樣的話，你就不會被這種』機制』而左右（控制），那麼，你就可以很輕松自如的進行自我意向性的工作了（當然，你也可以反駁我的這種想法（假 設））。
......不能用數學去描述一件【事或物或其他（簡稱X）】，不知道數學世界裡是如何思考的，這讓我很困擾，我現在理解到的數學就是：利用計演算法則對X進行分析，計演算法則就是大家已知的，例如微積分、概率論等對一系列數字的進行處理。但是處理的過程（概念）很模糊，這里就牽涉到一個分析的問題，也就是說，在問題域和數學間建立一座橋梁，問題域還好解決（因為我能從現實世界中發現某些特有的），建立橋梁我更加擅長了，可我不知道數學是如何思考的，即便我把問題域、橋梁都做得盡善盡美，但不知道彼岸是哪裡，那都是沒意義的。
所以，我的問題很直接明了：數學是如何思考的。
最後，我希望同學們不要認為這個問題過於強壯、抽象等等，這只是一個個人認識而已，就如同大家寫程序一樣，程序為什麼要這樣寫，而不哪樣寫呢，是因為每個人都有自己的思考方式，所以呢，每個人就有了不同的思想了。
例如，我認為數學的思考方式是這樣的：就如同寫程序一樣，每個【公理、定理、推論等（簡稱Y）】就像是一條條程序語句，如果沒有了這些程序語句，就不能寫程序一 樣，Y學的多了，寫的程序自然就流暢、好了（好像又和英語學習類似似的），至於這些程序語句如何去學呢，就要按照傳統的方式去學習（例如，參考書籍、做習題、考試、實踐等），但似乎計算機的出現後能改變一些狀況，到底是什麼樣子呢，我也等著群體進化，所以呢，同學們不要吝嗇自己的個人認識。（這只是個人觀點，由於缺乏 一些數學知識，所以只能這樣』連帶』思考了，來降低一些維度（實際是想偷懶，找到更快捷的方式，把那該死的數學、折騰人的數學給kill掉），所以呢，一個人的 力量是渺小的，但是呢，十個人以及更多，要把數學kill掉並不是件難事）
LiAndy
哈哈哈哈，Shenli兄顯然沒有體會到數學思考與數學邏輯思考之間的區別（文字游戲除外，一種兩者或一體者之間的對話與一種純粹的思考法則是不一樣的）。
其實，我很明顯的一個目的是：學慣用數學的角度去觀察，可能和我的相同或不同，但我沒有親身體驗，不好做出很好（或者說是』專業性』）的評斷，所以，最好的方法 就是去深入了解數學是如何思考的（過了一天了，我對數學如何思考的還是沒有進展）。
恩，我實在不願意翱翔在哪些公式、公理之間，那樣簡直是種折磨，但我又不得不試圖相信（總不能侮辱以前所有的數學大師們是在自娛自樂吧？），由於各種差異性，花費（或者說浪費）少許的時間，並不會讓自己的生命馬上停止，因為她仍然在前進。
最後，上次你說的那個郎咸平，我覺得，他嚴重的缺乏某些實踐精神（有可能是我不知道行內信息）。經濟到底是始於理論還是始於實踐呢？答案應該是顯而易見的，但有理論可以更好的實踐，而不是說不能實踐，這是一點少許差別而已。
啊，巴菲特那個老傢伙，好像也是跟某大師N年（跑龍套）（這句話不要被巴菲特聽見了，哈哈..）。 恩，還是人類的發展告訴了我們，一個老子（爺爺）是從孫子長起來的。
Shenli
數學大師的確是在自娛自樂。我碰巧認識好幾個搞數學的長輩（都是國內名校的教授，不能算是大師，也在某些領域有所建樹），他們的說法會讓你大吃一驚，他們認為數學沒有應用，所謂的applied mathmatics（應用數學）根本不能算是math。其中有一位長輩在聽過AI方面的演講以後，認為裡面的數學一塌糊塗。從數學家的角度，工程上用到的數學非常小兒科，呵呵。作為一個工程師，我感到很...
不得不為郎咸平喊冤，如果他只是說說空話，不觸及真正的問題也不會被上海封殺了。不知道你所說的實踐精神是什麼？
巴菲特Buffett是有獨立思想的人（簡單的生活，豐富的思想），他的導師是Grahum。價值投資學派在學院派里不是主流，可能是因為缺少"美妙的數學"，（如果投資基金的話，應該知道Beta系數，這個發現曾經獲得nobel prize，Buffett認為這個系數是沒有意義的）。不知道你有沒有讀過他寫的年報，讀幾個片斷就能讓人肅然起敬。
LiAndy
恩，我實在不願意翱翔在哪些公式、公理之間，那樣簡直是種折磨，但我又不得不試圖相信（總不能侮辱以前所有的數學大師們是在自娛自樂吧？），由於各種差異性，花費（或者說浪費）少許的時間，並不會讓自己的生命馬上停止，因為她仍然在前進。
我還是沒悟到數學如何思考，不過你的意思好像是說，AI已經和math背道相持了。
對了，能不能帶我像搞數學的前輩問下：數學是如何思考的？說道這里，也希望其他同學們能幫幫我這個』迷路的小孩』，向自己的導師、牛人等等（反正是自己認為特別牛的那種）：數學是如何思考的？
不得不為郎咸平喊冤，如果他只是說說空話，不觸及真正的問題也不會被上海封殺了。不知道你所說的實踐精神是什麼？
不過你說的還著實讓人有所感觸，記得python有2段話：要麼簡單到完美，要麼復雜到完美，或許巴菲特屬於前者。說起來，我還蠻喜歡這個的。
最後，似乎shenli對商業也蠻感興趣的（主要是指股票之類的）？
DaVinci（達芬奇）
其實要知道數學怎麼思考的有效方法就是去多做數學題目。
如果你可以把北大出版社的<<離散數學>>都看完了，課後題目都能自己做出來。我覺得你數學思維的嚴密型，怎麼建模，怎麼抽象的思考問題的能力都會有很大的提高。
比如說下面幾個題目：
1：一個城市有N個鄉村，每兩個鄉村之間都有一條公路相連。但是有的是一級公路，有的是二級公路。汽車只能在在一級公路上行駛，拖拉機只能在二級公路上行駛。問題是乘坐汽車或者拖拉機能不能走遍所有的村莊？（完整的證明過程）
2：{簡單一點的}
存不存在這樣一個多面體：有奇數個面，每個面有奇數個邊。這是圖論問題。比較有意思。可以看下抽現代數的東西。或者組合數學的內容。
多證明題目，就知道數學的思維是怎麼鍛煉出來的了。
請大家多研究下數學，計算機數學。所以證明下上面的第一題。比較簡單
LiAndy
很感謝達芬奇同學告訴我應該怎樣去鍛煉數學的思考法。請允許我貪婪的問句：既然學習《離散數學》可以提高，那麼請帶我向已學《離散數學》的同學們問句：數學是如何思考的？
最後，謝謝達芬奇同學指出一條路。
Eric
我覺得圖論比不上抽象代數有代表性吧。
抽象代數是標準的數學方法： 高於現實的抽象（如群，環），公理體系的建立和嚴謹的邏輯論證， 應用到現實中具體的模型中成為具體的定理（如理想這個定義在不同環中有不同的好玩的性質），哪怕公理假設稍微改一下結論也就不同（如有限群和有限域的定義和研究方法截然不一樣）
往往有定理能解釋不同領域的深刻聯系， 而這些就被稱為美的(如 Galois 定理聯系了有限域的擴張和置換群之間的關系）以及，哪怕是簡單的一個描述都有可能是千古難題，如代數數論中的費馬大定理。 另：就我個人來看，北大的離散數學的教材的圖論部分其實不怎麼樣，堆砌了很多結論，玩了很多小技巧，其實講解不比任何圖論書好。（我用那本書考過研）
再說達芬奇同學說的兩題吧，
第一題如果我理解的不錯的話，其實說白了就是圖G或者它的補圖必然是連通的。這很好證明的， 假如G不是連通圖的話，也就是說有多於一個聯通分量，各個連通分量之間是沒有邊的。他的補圖中這些分量之間的點必然是兩兩有邊的，因此是連通圖。
第二題就是所有度之和必定是偶數這個結論而已。
所以， 我覺得這兩題或許揭示了圖的深刻表達能力， 但是沒有深刻的揭示數學的思考。
li li
達芬奇來了？牛頓咋沒來呢？
LiAndy
可能是：21世紀的美女太多了，牛頓同學去追求美女去了，對123不感興趣了。
LiAndy
zhangqiang同學說：為了思考而思考的典型例子，不大懂什麼意思。所以呢，我覺得xu
you同學說得（最後一句）很能說明問題，結果呢，我還是沒悟到《數學是如何思考的》。
最後呢，pongba同學說——你這是典型的顛倒因果嘛：玩神秘有可能會讓人摸不著底細，從而感覺是高手。但玩神秘並不意味著就是高手。高手也並不就需要玩神秘 。那麼呢，請高手們現身吧.......
LiAndy
噢，還忘了多說一句，似乎高手們總喜歡談』社會意義』，這是小問題嘛，去讀讀《毛澤東思想》就知道怎麼辦了，還值得高手們花大把的時間去討論，實在是有辱其名，連科學之母都搞定了，難道連基本社會都搞不定？
啊，最後，忘了給高手們一點建議：如果實在讀不懂』社會意義』是什麼意思，可以去讀讀《毛澤東思想》或者參加這里的討論也是一個不錯的選擇嘛。
pongba同學，同意我的觀點嗎？（如果高手們都參與討論，那麼this->group的質量會提高嗎？）
恩，最後的最後，我的問題是：《數學是如何思考的》
（最後呢，pongba同學說——你這是典型的顛倒因果嘛：玩神秘有可能會讓人摸不著底細，從而感覺是高手。但玩神秘並不意味著就是高手。高手也並不就需要玩神 秘。那麼呢，請（這里要加點：其他的。其實我也不願意玩文字游戲，就擔心有人挑刺）高手們現身吧.......）
LiAndy
1、數學是如何思考的？數學本身不會思考，思考的是人，人的思考需要訓練。
-----恩，人工智慧能思考嗎？那個叫圖靈的人好像是寫了一篇論文來說明計算機能思考，你是在和圖靈對話嗎？
2、數學有自己的完備性，這樣才可以讓使用他的人的大腦不至於到另一種形態， （好像武學中的走火入魔 :) ） 科學的說，只是另一種形態 ，而不是精神病，也許在精神病眼中我們都是精神病。人的大腦的訓練既有個體差異，也有共通的地方，但是究其根本沒有思考，只有訓練。
----咦，請問下：藝術是什麼？
3、我接觸過一些比較高階的博士，我發現他們的專業知識就好像他們身體的一部分，這個和一個優秀的籃球運動員沒有太大區別，和他們討論一個問題，發現他們似乎有了答案，但是又說了一半，又不說了。還有一次，看一個節目，采訪了一下楊振寧，發現他說話吞吞吐吐。後來我明白了，因為他們的大腦在長期學習和科學研究中經過訓練，已經太快了，比說話的速度還要快。
----哎，我的問題就是要弄明白他們到底是哪些地方忽略了，不然怎麼去普及通用性、普遍性呢？
4、數學是前人在無數的科學實踐中留給我們最好的禮物，如何使用數學，利用數學，發展數學？ 就好像許多前人的技能一樣，比如射箭、籃球。只有不斷的訓練可以做到這一點，思考說白了， 就是比較高級的體力活，當然這種體力活有它自己的特殊性，所以不需要刻意思考，就好像有人提到的 為思考而思考，所以要訓練自己的大腦 讓數學知識、推論成為自己的大腦的本能反應，作習題就是這種訓練，如何發展數學，就是要做一些科學實踐了，數學本身不是終極目的，在數學和實踐中，會發現數學工具的不足的。
-----唔，這個好像還符合邏輯。至於為什麼要有群體進化呢？就是要加速這種【會發現數學工具的不足的】的問題以及解決方案。
5、人類的認知是有限的，因為人的大腦太小了，裝不下這個大千世界，但是世界擺在人類的面前，認知它和人類自己是也許就是人類的終極使命，世界太大，腦子太小，如何認知，只有簡化，於是 "簡單就是美" 出現了高度總結的東西，就是知識，知識也有自己的高度總結，它要有自己的完備性，系統性，要有可以被人類大腦可接收的很多性質，於是數學就出現了，數學的出現有它的必然性，美是什麼，美是讓人的大腦感覺舒服的東西， 數學的終結目的是人們在認知世界的過程中感覺極度舒服的東西，但是人們認知世界的過程卻是極端痛苦的，因為任何一個東西都有成長的煩惱，數學也一樣。
-----噢，簡化是數學的目標。但為什麼簡化後就沒人知道這個世界是如何運轉了呢？那為什麼馬克思能用文字闡述這個（資本主義）世界是如何運作的？為什麼數學就不行呢？
simon111
1、人類可不可以製造出新的智能體？我想應該可以吧，也許人類是由更高智能生物出來的。作為人自身，可以通過訓練自己的大腦提高認知能力的。
2、人的大腦有它的特殊性，藝術，就是這個特殊性的一種體現 好像已經有研究指出，藝術歸右腦管。
3、在學習數學的過程中，存在個體差異，最終目的是改造世界，殊途同歸。修煉我們的大腦，盡我輩之力。
4、數學是另一種文字。書本上的定理，推論，性質，看起來就只有幾行，但是那隻是數學的外衣，知其然知其所以然， 數學的內核依然不簡單，它是完備的，是個系統，馬克思的資本主義世界只是數學要描述世界的一部分，簡化是數學的目的，但是世界最終是復雜的。 但是大腦需要美 ，需要感覺舒服，所以要有定理、推論、性質。
5、世界是如何運行的？ 這個問題就和這個世界一樣復雜，馬克思也許只說了一個小世界的一個側面，而且只說到了一個層次而已，
LiAndy
是啊，資本主義只是部分，而不是全貌。呵呵，程序員知道資本主義實在是難得啊。恩，又提到一個keyword：內核。那數學的內核又是什麼呢？是如何引導人們用數學進行思考的呢？
DaVinci
不要在這里光談數學怎麼思考的。這樣沒有意義。你自己去學習，去練習 久而久之就知道怎麼用數學的思維方式思考問題了。光是抽象的談數學的思考方式沒有多大意義。那隻是該個概念而已。 比如，數學中可能要用的反證的思考方法，歸納的思考方法，或者把抽象的問題用具體的實例來啟迪思考，具體的問題抽象出共性等。光這么說，你知道怎麼具體用么？
==多研究問題，少談些主義===
Eric:
很好，很強大。果然是學計算機的。牛人
simon111
數學的內核是什麼？仁者見仁，智者見智，我自己覺得數學的內核是「描述」，完備的數學是用來描述問題、答案和 答案到問題的過程的，而且是完備的，不會內部結構矛盾的。
如何利用數學進行思考來解答問題？ 准確用數學描述問題和答案，利用各種性質的理論、推論，找到問題和答案的聯系。當然，解題，描述的方法會有很多，如果數學工具不夠用，就要發展數學自身。思考是多方面的問題，大腦需要訓練，訓練速度和准確性，剔除大腦思考的不好的習慣，減少大腦惰性，數學可以用來訓練大腦思考，讓我們從潛移默化中參悟前人智慧的精妙，光記住一些成形的理論 無法做到這一點，需要在無數次的思考訓練中修煉、感悟。
LiAndy
順便問下DaVinci同學，難道除了做題、看書以外就沒有別的方法了？
LiAndy
恩，悟性一般的我，又發現點東西了：既然我們不能從整體去理解數學是如何思考的，那麼我們可以劃分數學模塊，單從某些面來說明數學的思考方式，例如，DaVin ci同學說的圖（十分感謝，給了我很多啟發）。通過組合不同面的思考方式來認識數學的整體思考方式或許是個不錯的選擇（其實，現在來說，這個方法是沒有辦法的辦法。因為在劃分後，還是要聚合，能否完好的聚合又是一大難點）。
--------------------------------------
膚淺的我，按照非專業的方式進行劃分，如果有高手認為不妥，請指出並詳細化，十分感謝。
如此說來，我們就要劃分模塊了，首先按照華羅庚同學的劃分：數、形。
數：
1、某些基礎知識（這應該就是某同學說的內核）向微積分看齊（無限的領域）；
2、小部分知識向概率論看齊（這應該是不確定的計算方式）；
…………知識有限，待群體進化
形：
1、某些基礎知識（內核）向N維空間？
………………恩，這部分待補充
--------------------------
這樣，可能就趨向復雜了，因為數學分支很多（個人精力無限趨於分散），可人類始終沒有找到數學是如何思考的方式，這就由不得不去思考了。最起碼一點，哲學領域， 關於如何思考有較明確的說明，為什麼數學沒有呢（難道數學是一個潘多拉盒子，或者純粹是一種簡化？等等）？如果不理解思考機制，那人們如何去創造一個適應時代的 數學？
--------------------------
恩，其實一個叫方法的名詞可以說明思考，例如：某書籍叫《數學方法論》等等。
在學術方面，這應該叫數學認知科學？
simon111
一點簡單的認識， 歡迎批評
從整體到部分，再回到部分，都是數學方法的一部分。還有從特殊到一般，從正面到反面，很多很多中，都是數學方法的一部分 ，我不是完全理解您所說的數學思考的方法。
數學不是終極目的，我們可以利用數學的理論自己創造一個結構完美，完備的體系，比如一個超牛的代數系統 但是我覺的這沒有太大意義，數學的終極目的是改造世界，是實踐。在改造世界的過程中，合適的使用一些數學理論，並發現數學的不足，依據現實的需求，改造數學。
數學有很多分支，不能說某個分支該如何發展、如何進化，如果人類在認識世界的過程中，需要它進化，它就應該進化。數學在自身進化的過程中有很多玄關、很多數學家無法自洽的地方，比如一些千古難題，那是因為數學自身內部有很多聯系的地方無法打通關節，如果想要參悟數學思考的方法，也許就要學習各種數學理論，感受各個理論直接的聯系，感受它們是如何做到完備的， 學習數學體系中已經打通的關節，嘗試打通沒有打通的關節。
圖論是比較美的， 因為它夠簡單，夠完備，而且最關鍵它的普適性很廣，可以描述和解決很多客觀世界和數學自身的東西。自我感觸，人類如果接觸到一個知識，很簡單，很好用，而且普適性 很廣，大腦潛意識會對我們說，我們學到了真正的東西。
LiAndy
難道除了做題、看書以外就沒有別的方法了？也許還有其他的方法，但是我個人覺得做題、看書、上網查資料...都是最直接的辦法。內心深處保持旺盛的求知慾，把數學知識當作好朋友，和它呆的盡量久一點，假以時日，你會有所突破的。前人在學習實踐的過程中，有自己的一套，但是他們可能覺得普適性不夠，出於責任，沒有說。已經說了的，也只能是個參考，畢竟大腦有個體差異。在學習的過程中，了解自己的不足，從錯誤中修正自己，你也會找到自己的一套的，別人的那一套，只是暫時先記住，在學習的過程中一定階段，有一些共通點會參透的。有的時候，可能會隱隱約約感覺有很多東西自己沒有想透，但是又說不清楚，沒有關系，不用著急，可能是現在積累不夠，需要更多的訓練。
LiAndy
啊，剛剛又悟到一點：很多時候，並不是我們的大腦不夠聰明，只是被某些自認為聰明的人給誤導了，而普遍現象是相信權威，所以呢，某些誤導現象更加嚴重。最終呢，我們還是要尋求到一種適合自己大腦的知識結構，這樣呢，就要自己不停的去探索。那麼，還要教育干什麼？（難道教育只是一盞燈，告訴在哪裡，而不告訴人們怎麼到達？噢，有可能都是摸著石頭過河，既然都是摸著 石頭過河，那還要叫教育作甚？）
windstorm
崩了 LiAndy，你能不能先靜下心來看幾本書，然後再來討論一下？在你提出"數學如何思考"之前，能不能先看基本數學書，說說自己看來怎麼思考，然後再進行討論？這樣提一個大論題，讓別人回答，回答了又怎樣，就會思考數學了？ 這和你提問"共產主義如何實現"差不多
③ 一年級數學思考題
設紅珠子原來有x顆，則白珠子原來也有x顆
x-8<x+6
所以白珠子多
多
x+6-（x-8）
=x+6-x+8
=14（顆）
④ 一個難題，數學思考題
這道題采來用逆推法來解答。先把剩自下的看作單位1，20+8表示剩下的5/6，那麼剩下了多少列式為（28+8）÷（1-1/6），結果等於33.6，再向前推，把總數看作單位1，那麼33.6+6就表示總數的1-1/6，所以求總數列式為（33.6+6）÷（1-1/6），結果是49.5米，藉助線段圖很容易理解的。希望對你有幫助。
⑤ 請問這道數學思考題怎麼做，求解答，謝謝了！ 在1、2、3……2015中每個數前面任意添加「+」、「
加減偶數都不會改變奇偶性 反之亦然 0到2015有1008個奇數 偶數個奇數加減結果是偶數
⑥ 學習完數學課的同學結合下面的圖思考問題: 1、小歐拉是怎樣實現不改變圍欄長
做完數學課的同學，截個下面的圖，思考問題一小歐拉是怎樣實現不改變圍欄長的那麼這種這個問題啊，咱們都思考好，他是嗯，通過什麼周長不變原理？
⑦ 用數學的角度思考，1+1等於幾看看聰明的有幾個！！
一加一是等於二抄嗎這個問題涉襲及以下的答案：
1、數學上某個數「+1」，代表的含義是取得這個數的「後繼數」，數學上規定1的後繼數是2，所以，在任何時候「1+1」都是等於「2」的。
2、但是在不同的進位制下，「2」的書寫表現方式不同，比如在2進制下，2的寫法會變成「10」，但只是書寫方法的改變，並不妨礙1+1等於2的正確性
3、很多人把「1+1是否等於2？」這個問題和歌德巴赫猜想的「1+1問題」混淆，前一個問題，「1+1是否等於2？」，是早就有答案的（見第1點），後一個歌德巴赫猜想的「1+1問題」，問的不是1+1是否等於2？」，而是「一個足夠大的偶數是否能用兩個質數的和表示？」，這個問題現在科學家還沒有答案，或者簡化說成「歌德巴赫猜想的1+1問題還沒有解決」。
⑧ 如何考慮教學資源和教學設計的關系
教學設計與案例參考答案
一、填空題
所謂新課程小學數學教學設計就是在《數學課程標准》的指導下，依據現代教育理論和教師的經驗，基於對學生需求的理解、對課程性質的分析，而對教學內容、教學手段、教學方式、教學活動等進行規劃和安排的一種可操作的過程。
合作學習的實質是學生間建立起積極的相互依存關系，每個組員不僅要自己主動學習，還有責任幫助其他同學學習，以全組每個同學都學好為目標，教師根據小組的總體表現進行小組獎勵。
3、數學課程目標分為數學思考、解決問題、情感與態度、知識與技能、四個維度。
4、教學目標對整個教學活動具有導向、（激勵 ）、（評價 ）的功能。
5、數學課堂教學活動的組織形式有 席地式、雙翼式：半圓式、秧田式、小組合作式 等。
6、教學案例的一般結構是主題與背景、案例背景、案例描述、案例反思 。
7、教學模式指的是 .是廣大教學工作者經過長期教學實踐逐漸認識並總結出來的規范的實踐方式 。
8、「最近發展區」是指 兒童的智力第二發展水平即學生在教師指導下的潛在發展水平 。
9、情感與態度方面的目標涉及數學學習的好奇心、求知慾、自信心、自我負責精神、意志力、對數學的價值意識、實事求是的態度等諸多方面。
10、所謂「自主學習」是就學習的品質而言的，相對的是「被動學習」「機械學習」「他主學習」。新課程倡導的自主學習的概念。它倡導教育應注重培養學生的 的探索與創新精神 ，引導學生 積極主動地參與到學習過程中去進行自主的學習活動，促進學生在教師的指導下 自主的發展 。
11、教學設計的書寫格式有多種，概括起來分為 文字式 、表格式、程序式 三大類。
教學方法是 指教學的途徑和手段，是教學過程中教師教方法和學生學的方法的結合是完成教學 任務的方法的總稱學 是完成教學任務的方法的總稱。
13、練習法 是學生在教師指導下鞏固知識和形成技能、技巧的一種教學方法 。
14、 「以問題探究為特徵的數學課堂教學模式」 是指： 不呈現學習結論，而是讓學生通過對一定材料的實驗、嘗試、推測、思考，去發現和探索某些事物間的關系、規律。
15、學習者對從事特定的學科內容或任務的學習，已經具備的有關知識與技能的基礎，以及對有關學習的認識水平、態度等，就稱為起點行為或起點能力。
18、談話法是指 教師根據學生已有的知識和經驗，把教材內容組織成若干問題，引導學生積極思考、開展討論、得出結論，從而獲得知識、發展智力的一種方法 。
21、編寫教學設計要體現哪些特性？P15
（1）科學性；
（2）針對性；
（3）實用性；
（4）主體性；
（5）體現課程資源整合的理念。
22、舉例說明「嘗試教學法」的步驟。P24
第一步：出示嘗試題，進一步是提出問題。出示的嘗試題一般要同課本中的例題相仿，這樣便於學生通過自學課本去解決嘗試題。
例如，課本例題：一個商店運進 4 箱熱水瓶，每箱是 12 個。每個熱水器 6 元，一共可以賣給多少元？
嘗試題：文具店有 20 盒乒乓球，每盒 6 個。每個乒乓球賣 2 角，一共可以賣多少元？
新課伊始，教師宣布課題時，一定要明確指出：這堂課學什麼內容，要求是什麼，然後再出示嘗試題。嘗試題出示後，必須提出一些激勵性的語言，激發學生的興趣。如「老師還沒有教，誰會做這道題目？」「看誰能動腦筋，自己來解決這個問題？」當大部分學生搖頭時，轉入第二步。
第二步：自學課本。閱讀課本前，教師可提一些引導性的思考題。
例如，學習異分母分數加減法，可提： ① 分母不同怎麼辦？ ② 為什麼要通分？
當大部分學生自學了課本找到了解決嘗試題的辦法時，轉入第三步。
第三步：嘗試練習。
第四步：學生討論。即討論解題策略。
第五步：教師講解歸納 。
23、簡述教學案例形成的幾個步驟。P49
（1）確定教學任務的思考力水平與要求；
（2）課堂觀察並實錄教學過程；
（3）教師、學生的課後調查；
（4）分析教學的基本特點及與思考力水平要求的比較；
（5）撰寫教學案例。
24、難點的形成一般有幾種情況？在教學中教師應採取怎樣的策略？P29
25、舉一個例子說明嘗試教學法的步驟。（同第22題）
26、強調數學教學回歸生活原因有哪些？P49(新課程教學設計)紅色封面
27、與新課程的要求相適應的數學教學模式，需要體現哪些特徵？P27(同上)
一是學習主體的主動參與和有效互動。
二是學習主體的情感體驗與活動構建。
三是學習主體的合作探究與個性發展。
四是加強學習者與生活世界的聯系和激勵他們大膽創新。
28、簡述自主活動教學模式的結構要素。P28—29
自主發展，構建動場
角色確認，自主探究
活動構建，自主評價
自主反思，活動延伸
29、簡述練習課教學設計的基本步驟。P29
① 基本訓練 。以訓練學生的口算技能、公式記憶、數量關系的理解等為主。
② 宣布練習的內容和要求 。明確地宣布本課練習的內容和要求，使學生明確學習的目標和要求。
③ 檢查復習新授課的知識。一般採用板演練習，能及時發現問題，信息得到反饋，有利於教學的開展和調控。
④ 課堂練習。這是練習課的主要部分，一般設計專項練習、針對練習、綜合練習、發展練習等幾個層次的練習。
⑤ 作業評價。 包括練習評價，貫穿在每個層次的練習中。
30、探究學習與接受學習相比，它更強調的方面有哪些？
探究學習的基本思想是讓學生在「重新發現」和「重新組合」知識的過程中進行學習，它是一種強調學生自主、積極投身其中的學習方式。與接受學習相比，它更強調的是：①參與和過程；②平等與合作；③鼓勵創新 。
31、目前小組合作學習中存在的問題主要有哪些？P41
1 、組織形式不到位
2 、合作程度不到位
3 、評價機制不到位
32、復習課設計的注意事項有哪些？P31
① 同一材料合理地用不同形式呈現，用不同例子講解，以使學生產生新異感，並有利於學生從各個不同的方面去仔細研究某一現象，便於全面理解。
② 復習不是面面俱到，平均使用力量，練習應練在重難點之處，練在學生掌握薄弱、疑惑之處。
③ 復習不是原地踏步，作同一水平的循環，而應對知識進行系統的梳理、整理，使零散、孤立的知識形成網路，使學生產生新的認識與理解。
④ 練習要體現「廣度」、「坡度」、「深度」，使每個學生都參與到思維訓練中；要由淺入深，由易到難，循序漸進，使學生逐步深化對知識的理解和掌握；練習應引申，深化綜合貫通，重點提高學生的綜合應用能力與遷移能力。
33、簡述問題探究教學模式的要素。P35（紅色）
問題生成
主動探究
成果交流、反饋延伸
34、簡述活動建構教學策略運用中應注意的問題。
（ 1 ）師生角色的再定位
（ 2 ）要注意開放、民主、實效的體現
（ 3 ）問題要具有思考性、趣味性、生活性
35、情境體驗具有哪些特徵？P92（紅）
一是強調以「情境」作為一種教學手段。情境功能最突出的一點即引導學生的情感，調動學生的生命體驗。
二是強調以「情感」作為起點。情感因素是情境體驗的首要因素。
三是強調對師生生命性的關照。「在體驗世界中，一切客體都是生命化的，都充滿著生命的意蘊和情調」，因此我們的課堂教學要強調師生生命性的關照。
四是強調對學習過程的體驗與構建。
五是強調教與學的交互影響和交互活動。
四、論述題
1、學生自主學習要不要教師？如果要請說明理由以及指出教師應做些什麼？
學生自主學習當然要教師引導和參與了。
所謂「自主學習」是就學習的品質而言的，相對的是「被動學習」「機械學習」和「他主學習」。新課程提出了自主學習的概念，它提倡教育應「注重培養學生的獨立性和自主性，引導學生質疑、調查、探究，在實踐中學習，促進學生在教師的指導下主動地富有個性地學習」。
自主學習最大的特徵就是主動性。這種主動性體現在學生主體上有以下幾方面的特徵：一是在參與意向方面，學習者能夠自己確定學習目標，規劃自己的學習進度；二是在學習策略方面，學習者擁有積極的心態和符合自身特點的個性化的思考策略，樂於在解決問題中學習；三是在情感的投入方面，學習者的學習驅動力來源於自身，並能從學習中獲得積極的情感體驗；四是在自我調節方面，學習者有較強的自我調控能力，在認知活動中可以及時調整自己的行為，以適應新的變化。
目前 ，有些教師有個錯誤的認識，即只要把學習時間交給學生，讓學生自己去學習，就是以自主學習為中心的課堂教學。應該認識到，讓學生能夠探索、學會探索，才是自主學習的本意。
首先，要激發學生的學習動機。自主活動的核心因素在於激發學生的學習動機，而學生學習動機的激發則應從四個方面來實施，即：一是興趣的引領；二是目標的導向；三是評價的激勵；四是競爭的促動。
其次，要注意給予學生學習的自主權。
2、教師為什麼要寫教學反思？P50
一什麼是教學反思?
教學反思的意義是什麼?
3、如何做到小組合作追求實效，防止流於形式？P42
什麼是小組合作.
現流行小組合作的現狀
策略
4、論述「探究」與「講授」。
美國國家科學教育標准中對探究的定義是：「探究是多層面的活動，包括觀察；提出問題；通過瀏覽書籍和其他信息資源發現什麼是已經知道的結論，制定調查研究計劃；根據實驗證據對已有的結論作出評價；用工具收集、分析、解釋數據；提出解答，解釋和預測；以及交流結果。探究要求確定假設，進行批判的和邏輯的思考，並且考慮其他可以替代的解釋。」
什麼是講授？學生在學習中有了困惑，想要明白而弄不明白，想說又說不清楚的時候，教師以自己的見解、體驗、積累去開導、啟發、點撥，這就是講授。
我們的課堂既需要學生的探究活動，也需要教師的講授，我們要針對教學的對象（學生的水平、學習材料的情況）來決定是設計探究活動，還是講授活動。當然，很多時候探究和講授的相互滲透的，在探究活動中需要教師的講授，要有效探究活動也需要教師的講授；同樣，教師的講授就是為了培養學生能獨立探究的能力。
5、教師應如何看待教材？P9
教材是課程實施的一種文本性資源，是師生對話的「話題」，是一個引子，或者是一個案例，而不是課程的全部。
教師應把教材作為樣板
教師應把數學思想作為主線
教師從學生生活實際中選取內容重組教材
教師應立足於學生的已有經驗重組教材
6、新課改要不要教學模式？為什麼？P25—28(紅)
從本質上來講，教學模式應看做是實施教學的一整套方法論體系。而作為一整套「方法論體系」，在教學模式的構成要素中，就應當包含著理念基礎、教學目標和原則、教學程序、教學策略、教學方法和技能、教學手段和教學評價等若干內容。這些要素相互聯系、相互制約，從而才構成為一定的教學模式。它既是相對穩定的，但同時又呈現著動態開放的特徵。
與新課程的要求相適應的數學教學模式，需要體現以下幾個基本特徵：
一是學習主體的主動參與和有效互動。
二是學習主體的情感體驗與活動構建。
三是學習主體的合作探究與個性發展。
四是加強學習者與生活世界的聯系和激勵他們大膽創新。
變革中的幾種新的教學模式
（一）以自主活動為特徵的新型課堂教學模式
（二）以問題探究為基本特徵的教學模式
7、新課程為什麼要提倡合作學習？P38—39
（1）合作學習是指促進學生在異質小組中彼此互助，共同完成學習任務，並以小組總體表現為獎勵依據的教學理論與策略體系。
（2）開展合作學習的優勢：
有利於增進學生之間的合作精神；
有利於激發學生的學習動機；
有利於建立和諧平等的師生關系；
有利魚形成正確的評價，培養良好的品質；
有利於課程目標的實現。
8、什麼樣的「問題」才是好問題？P81（紅）
一是應當明確、具體可感；
二是應當具有思考價值；
三是要關注多維教學目標的達成；
四是問題要具有情境功能。
9、你認為寫教學反思時可從哪幾個方面入手？
（1）P50所謂教學反思就是對教學過程的再認識、再思考、再探索、再創造。教學反思是教師以自己（他人）的教學活動過程為思考對象，對自己（他人）所做出的行為、決策以及由此所產生的結果進行審視和分析的過程，是一種通過提高參與者的自我覺察水平來促進能力發展的有效途徑。
（2）反思什麼P51
（3）如何反思P53
10、你認為問題設計要注意哪些問題？P88—89（紅）
要為學生的問題意識和質疑能力的發展創設良好的環境
向學生提供成功體驗，正確對待學生的每一個問題
五、案例分析
1、案例描述
兩位教師上《圓的認識》一課。
教師A在教學「半徑和直徑關系」時，組織學生動手測量、製表，然後引導學生發現「在同一圓中，圓的半徑是直徑的一半」。
教師B在教學這一知識點時是這樣設計的：
師：通過自學，你知道半徑和直徑的關系嗎?
生1：在同一圓里，所有的半徑是直徑的一半。
生2：在同一圓里，所有的直徑是半徑的2倍。
生3：如果用字母表示，則是d=2r。r=d／2。
師：這是同學們通過自學獲得的，你們能用什麼方法證明這一結論是正確的呢?
生1：我可以用尺測量一下直徑和半徑的長度，然後考查它們之間的關系。
師：那我們一起用這一方法檢測一下。
……
師：還有其他方法嗎?
生2：通過折紙，我能看出它們的關系。
……
思考題：
（1）兩案例的主要共同點是什麼？
（2）是否真正了解學生的起點？
（3）從線性與非線性的觀點分析兩教法。預測兩教法的教學效果。
案例分析：P25
兩個案例都注重學生的實踐操作,通過動手操作來理解直徑和半徑的特徵及聯系
B教師設計,是學生不斷激活「內存」的過程。建構主義是非常強調個體的經驗的，個體的一切學習活動都是以經驗為基礎展開的，讓學生充分調集和展示經驗，是師生高效對話的前提。我們不僅要充分承認學生不是一張白紙，還要盡可能了解學生已經有了哪些顏色。
很明顯，第二位老師已經為學生創設了一次成功的數學活動，我們可以預測這樣的活動一定能讓學生感受到了數學的無窮魅力。這種魅力，一方面是因為它承接了學生原有的認知經驗，學生感受到數學很簡單、很日常、很好玩，有信心，有興趣去學習。另一方面，學生通過多感官的活動，探究這些親切有趣的現象背後的原理，建立一定的數學模型，培養一定的數學能力，由此得到更多的發展空間和持續動力。
2、案例描述：
教學「乘數是三位數的乘法」時，原題的內容是一個糧店三月份售出麵粉674袋，每袋25千克，一共售出麵粉多少千克?這樣一道例題讓學生感覺與自己生活太遠，和白己的關系又不是很密切，所以不能激發學生學習的興趣，如果照著原例題講，學生肯定會覺得枯燥無味。於是，我們聯系學生的生活來進行延伸。上課伊始，就讓學生猜測一個滴水的水龍頭每天要白白流掉多少千克水?學生們一聽是生活中經常能遇到的事情，興趣盎然，有的猜測5千克，有的猜測10千克，還有的猜測20千克，有個別學生看到了課後的內容說出來是12千克。教師接著問，照這樣計算，一年要流掉多少千克水?學生馬上算出平年是4380千克，閏年是4392千克。隨著計算結果的出現，學生覺得非常吃驚：「哇!這么多呀!」看著學生吃驚的樣子，教師又提出新的要求：「你家所住的樓房一共有多少戶?如果按一家一個水龍頭計算，一年要白白流掉多少水?」
思考題：原題與改動後的題目比較有什麼異同（包括與學生生活的聯系、目標的維度、教學效果）？
案例分析P51
「乘數是三位數的乘法」是一個比較抽象化的數學知識練習，但是它同樣包含了豐富的過程性學習目標，教師在教學時應提供具體有趣的素材，引導學生通過觀察、比較、思考，使學生獲得「乘數是三位數的乘法」的學習體驗，並掌握「乘數是三位數的乘法」算理。
從上面的兩個情景中，我們可以看出第一個情景，由於學生缺乏真實的體驗，缺少吸引學生的素材，學生很難對這教材產生學習積極性，也不可能很好的參與學習的過程了。
不少專家指出，「教科書，只是教與學的工具，決不是唯一的資源」。「大膽而創造性處理教材，甚至重組或改編教材，那時教師的業務權利」。因此，在第二個教學情景中，老師進行了大膽的替換改造，用學生熟悉的、感興趣的、貼近學生實際的生活素材來取代。在上面的片段中，我們可以深刻體會到學生已初步學會了用數學的思維方式去觀察、分析周圍世界，並且在這現實的、有意義的、富有挑戰性的探究活動中，學生加深了對數學知識的理解與掌握，真正體會到了生活中充滿了數學，感受到數學的真諦與價值。
3、案例描述
北師大版二年級下冊「派車」的教學片斷：
（1）出示問題：假期里，我們班將組織25名優秀學生進行社會實踐夏令營，學校安排麵包車、小轎車兩種車接送。其中麵包車每輛限乘8人，小轎車每輛限乘3人。假如你是老師，你將如何派車？
（2）學生獨立思考後並在小組內交流。
（3）學生匯報：
生1：派2輛麵包車和3輛小轎車，算式：2×8=16（人） 3×3=9（人）。
師：掌聲鼓勵！
生2：派4輛麵包車，留7個坐位放行李。算式：8×4-7=25（人）
生3：派5輛麵包車。
師：說說你的理由。
生3：每輛麵包車坐5人，留3個坐位放行李，算式：5×5=25（人）
師：也可以！
生4：派6輛麵包車，其中5輛麵包車每輛坐4人，一輛坐5人，空位放行李。
……
學生海闊天空的答，而教師不管學生如何回答，都一一加以肯定，以示教學的民主，體現「鼓勵解決問題策略的多樣化」。待過了20分鍾，學生說出了11種派車方案（其中有8種方案空位超過一輛車的坐位）時，教師小結並布置了練習：同學們真能幹，想出了這么多的方案，每種方案都有自己的特色。如果增加4位教師，共有29人，你又會怎樣派車呢？
……
案例分析（從解題策略多樣化要注意的有關問題的角度分析）：
解決問題策略的多樣化是對幾十個人去解決同一個問題而言的，並不是每一個學生都要求能用不同的方法去解決同一個數學問題。因此，對於學生個體來說，不同學習能力的學生應有不同的要求，學習能力低的學生只要求能用一種方法解決問題，學習能力高的學生要求用不同方法解決同一問題。
過於追求演算法多樣化，往往會造成學生對每種演算法的理解不夠深入，思維僅僅停留在橫向的比較層面上。而現在一般強調的演算法要優化，實質是為了使學生的思維能夠縱向地、深入地發展，同時演算法的優化也有利於更好完成一堂課的教學目標，如本課「尋求租車的多種方案」的目標。因為優化的方法往往是已經公認的、適合大多數學生掌握的、有推廣和使用價值的方法，學生只有在掌握優化方法的前提下，才有可能去完成熟練的技能。
4、案例描述 ：
師：（呈現一個長方形和一個正方形）這兩個圖形分別是什麼？
生：左邊的是長方形，右邊的是正方形。
師：今天我們繼續學習長方形與正方形。
師：（邊比劃邊說）通過折一折量一量，你能發現長方形與正方形的邊有什麼特點，用直角三角板的直角量一量長方形與正方形的四個角，你能發現什麼？
（學生以四人小組為單位根據教師提供的材料與指定的方法探索）
生1：我們組發現了長方形對邊相等，四個角都是直角。
師：通過什麼方法發現的？
生1（邊比劃邊說）：用尺子量、用折紙的方法發現了長方形的對邊相等、正方形的四條邊相等，用直角三角板的直角量長方形和正方形的角，發現四個角都是直角。
師：還有不同的嗎？
生2：我們組是用繩子量的方法發現長方形的對邊相等、正方形四條邊相等的。
案例分析（從問題的品質的角度分析）：參考：論述題中什麼樣的問題是好問題？
一是應當明確、具體可感；
二是應當具有思考價值；
三是要關注多維教學目標的達成；
四是問題要具有情境功能。
5、[案例描述] 平行四邊形面積公式推導的教學片斷：
⒈教師布置學生獨立思考的內容：我們如何把平行四邊形轉化為已經知道面積公式的平面圖形來研究它的面積公式呢？
[案例分析]（主要從問題的目的性與開放性的角度分析）：
我們廣大教師在設計問題時，首先考慮到的是問題的開放性，在數學探究過程中，設計出了大量的開放性的，具有一定思維空間的問題。但是，這些問題同樣存在了目的性不強，答案不著邊際的弊端，學生在回答這類問題時，出現了這樣那樣的答案，老師對他們的回答只能作出一些合理性的評價，但是，學生的回答，和老師的評價使得我們的數學課堂離我們心目中的理想的數學課堂卻越來越遠。所以我們老師在設計問題題不僅要充分考試問題的開放性，更要考慮設計問題的目的性，你設計的問題應當明確，具體可測，大部分學生能尋求到比較正確的答案。（可參考案場景2
某校四年級六班有56名同學，老師在教學實踐活動課「秋遊計劃」一課時，在讓學生合作制訂購買秋遊所需物品及所需錢數之後，又設計了一個活動——乘車與買門票。「一輛大客車可坐50人，每輛300元；一輛中型客車可坐30人，每輛200元。個人票每人10元，團體票每人8元(10人為一組)。」讓學生根據教師提供的這些數據，討論交流應該怎樣租車、怎樣購買門票比較合理（在第二次合作學習時，有的學生在繼續計算買哪些吃的更好，有的在互相玩計算器）。
場景3 ．
一位教師在教學二年級數學課「克和千克」一課時，讓小組合作稱自己感興趣的東西。在小組匯報時，有一個學生說：「我稱的是豎笛，它的重量是8克。」老師問道： 「是8克嗎?」坐在旁邊的學生提醒了一下：「它的重量是85克。」這名學生終於說出了合理的答案。
思考題：場景1的合作缺少了什麼？場景2在第二次合作學習時，有的學生在繼續計算買哪些吃的更好，有的在互相玩計算器的主要原因是什麼？場景3中為什麼會出現第一次說是8克而第二次說是85克的情況呢？案例分析 ：P63(紅)
案例分析：
教學活動必須建立在學生的認識發展水平和已有的知識經驗基礎之上，體現學生學習的過程是在教師的引導下自我建構、自我生成的過程。學生不是簡單被動地接受信息，而是對外部信息進行主動地選擇、加工和處理，從而獲得知識的意義。學習的過程是自我生成的過程，這種生成是他人無法取代的，是由內向外的生長，而不是由外向內的灌輸，其基礎是學生原有的知識和經驗。學生原有的知識和經驗是教學活動的起點。
奧蘇伯爾有句名言：「假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，那麼，我將一言以蔽之：影響學生學習新知的惟一最重要的因素，就是學習者已經知道了什麼，要探明這一點，並應據此進行教學。」這位老師的教學，沒有考慮學生的已有知識經驗水平，使的課堂得探究活動顯得乏味。我們必須認真體會新課程提倡的「數學教學活動必須建立在學生的認知水平和已有的知識經驗基礎之上」這條理念。
⑨ 寫一篇關於「生活數學」的小論文 要求：（1）展示你對生活數學的思考與收獲.（2）300字.
數學小論文
今天,在我們數學俱樂部里,老師給我們研究了一道有趣的題目,其實也是一道有些復雜的找規律題目,題目是這樣的「有一列數：1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,3,4,5,4,3,4,5,…….這列數字中前240個數字的和是多少?」我一拿到題目,心裡猛然想到,這題目必須得按照規律來做.
想法一：開始我便先試著先3個一組來求和,6,5,10,9,12,15,14…….這樣一看,這些數字各有特徵,關鍵就是找不出合適的規律.於是,我又找4個一組來求和,8,10,12,16,20…….仔細一看,好像也沒什麼規律,我只好再試著找5個一組來求和,9,14,19,24……,這樣一來就非常明顯的看出它們是等數列,我非常高興,再把240÷5=48（組）,5個一組,（1、2、3、2、1）,（2、3、4、3、2）,（3、4、5、4、3）,（4、5、6、5、4）……那麼就可以求出末項的和,9+47×5=244,把首項加末項的和乘項數除以2,（9+244）×48÷2=6072.這樣就完成了!
想法二：我又發現每組開頭第一個數字恰好分別是1,2,3,4……48,那麼另一種方法就產生了,（1+48）×48÷2×2+（2+49）×48÷2×2+（3+50）×48÷2×2=6072.這樣想也合乎情理,也是一個理得清楚而且又實用的方法!
想法三：我又發現有N組時,他的和也是把（1+2+3+4+……+N）×5+4N=你要求那N組數的和,比如（1+2+3+4+……+48）×5+4×48=6072.這個規律也是要通過不斷來細心觀察與研究得來的,這個規律雖然有些抽象,但如果是自己弄明白了,那還要比其他兩種方法更容易些.
我做的只是其中的三種解法,其實方法還有很多,但是要靠自己來找其中的規律,解其中的奧秘!