⑴ 勾股定理的教案
中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：
周公問：「我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那麼怎樣才能得到關於天地得到數據呢？」
商高回答說：「數的產生來源於對方和圓這些形體餓認識。其中有一條原理：當直角三角形『矩』得到的一條直角邊『勾』等於3，另一條直角邊『股』等於4的時候，那麼它的斜邊『弦』就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵。」
從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現並應用勾股定理這一重要懂得數學原理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。如圖所示，我們
圖1 直角三角形
用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形得到兩條直角邊，用弦（c）來表示斜邊，則可得：
勾2+股2=弦2
亦即：
a2+b2=c2
勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯於公元前550年首先發現的。其實，我國古代得到人民對這一數學定理的發現和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那麼周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例（32+42=52）。所以現在數學界把它稱為勾股定理，應該是非常恰當的。
在稍後一點的《九章算術一書》中，勾股定理得到了更加規范的一般性表達。書中的《勾股章》說；「把勾和股分別自乘，然後把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦。」把這段話列成算式，即為：
弦=（勾2+股2）(1/2)
亦即：
c=（a2+b2）(1/2)
中國古代的數學家們不僅很早就發現並應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅「勾股圓方圖」，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅「勾股圓方圖」中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。於是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c2
化簡後便可得：
a2+b2=c2
亦即：
c=（a2+b2）(1/2)
圖2 勾股圓方圖
趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恆等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典範。以後的數學家大多繼承了這一風格並且代有發展。例如稍後一點的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。
中國古代數學家們對於勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現出來的「形數統一」的思想方法，更具有科學創新的重大意義。事實上，「形數統一」的思想方法正是數學發展的一個極其重要的條件。正如當代中國數學家吳文俊所說：「在中國的傳統數學中，數量關系與空間形式往往是形影不離地並肩發展著的......十七世紀笛卡兒解析幾何的發明，正是中國這種傳統思想與方法在幾百年停頓後的重現與繼續。」
⑵ 勾股定理的應用案例有哪些
陳明和張紅、方華在昆明湖中劃船，岸邊有一棵蘆葦露出水面。這棵蘆葦有多長呢？這里水有多深呢？小明捉摸了一會，拿出尺來量了量蘆葦露出水面的長度是11厘米，蘆葦離岸邊的距離是3米零1厘米，他又扯著蘆葦頂端引到岸邊，葦頂正好和水面相齊，陳明高興地說，我可以算出蘆葦的長度和水深。張紅和方華感到奇怪：你怎麼會算的呢？陳明說：「我叔叔有一本《九章算術》，那是漢朝的著作，離現在快兩千年了，前天晚上，叔叔給我講了其中一個題目，就是計算蘆葦長度的。」接著，陳明給他的小伙講了這個題目。
這個題目是《九章算術》勾股章第六題。題目是：
「有一個方池，每邊長一丈，池中央長了一棵蘆葦，露出水面恰好一尺，把蘆葦的頂端引到岸邊，葦頂和岸邊水面剛好相齊，問水深、葦長各多少？
設池寬ED＝2a＝10尺，C是ED的中央，那麼，DC＝a＝5，生長在池中央的蘆葦是AB，露出水面的部分AC＝1尺，而AB＝BD，設BD＝c，水深BC＝b，△BDC是一個勾股形。顯然AC＝AB－BC＝c－b＝1尺，AC的長等於勾股形中弦和股的差，稱為股弦差，於是，問題就變了：已知勾股形的勾長和股弦差長，求股長和弦長。
由勾股定理得
a平方＝c平方－b平方，
那麼，
a平方－(c－b)平方＝c平方－b平方－(c－b)平方
＝c平方－b平方－(c平方－2bc＋b平方)
＝2bc－2b平方
＝2b(c－b)
所以
(1),b＝a平方－(c－b)平方 /2b(c－b)
(2),c＝b＋(c－b)
將b，c－b的數值代入（1）、（2）兩式，很容易求出水深b＝12尺，葦長c＝13尺，《九章算術》用非常精練的語言概括了這個解法：
半池方自乘，以出水一尺自乘，減之，余，倍出水除之，即得水深。加出水數，得葭（葦）長。
這段話翻譯成數學語言，就是（1）式和（2）式。
⑶ 勾股定理與面積公式結合教學設計
教案和教學設計都是事先設想的教學思路，是對准備實施的教學措施的簡要說明；專教學案例則屬是對已經發生的教學過程的反映。一個寫在教之前，一個寫在教之後；一個是預期，一個是結果。
案例與教學實錄的體例比較接近，它們都是對教學情景的描述，但教學實錄是有聞必錄，而案例則是有所選擇的。
⑷ 【案例2】勾股定理的引入片段
學習是一個自主學習的過程，要讓學生在學習中不斷摸索，自己發現問題，然後解決問題，這是比較重要的。