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Ⅳ 高一必修1 函數概念的講解
函數的有關概念
1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變數，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域．
注意：○2如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合；○3 函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式．
定義域補充
能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等於零； (2)偶次方根的被開方數不小於零； (3)對數式的真數必須大於零；(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數為零底不可以等於零 (6)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.
(又注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。)
2． 構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域
再注意：（1）構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域．由於值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）（2）兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變數和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致 (兩點必須同時具備)
(見課本21頁相關例2)
值域補充
(1)、函數的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函數的值域都應先考慮其定義域. (2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。
3. 函數圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象．
C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多隻有一個交點的若干條曲線或離散點組成。
(2) 畫法
A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值並列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x, y)，最後用平滑的曲線將這些點連接起來.
B、圖象變換法（請參考必修4三角函數）
常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換
(3)作用：
1、直觀的看出函數的性質；2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。
發現解題中的錯誤。
4．快去了解區間的概念
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；（2）無窮區間；（3）區間的數軸表示．
5．什麼叫做映射
一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個映射。記作「f：A B」
給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那麼，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
說明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的；②對應法則有「方向性」，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；③對於映射f：A→B來說，則應滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，並且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。
6． 常用的函數表示法及各自的優點：
○1 函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據；○2 解析法：必須註明函數的定義域；○3 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域；化簡函數的解析式；觀察函數的特徵；○4 列表法：選取的自變數要有代表性，應能反映定義域的特徵．
注意啊：解析法：便於算出函數值。列表法：便於查出函數值。圖象法：便於量出函數值
補充一：分段函數 （參見課本P24-25）
在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變數代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式並用一個左大括弧括起來，並分別註明各部分的自變數的取值情況．（1）分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數；（2）分段函數的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集．
補充二：復合函數
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 稱為f、g的復合函數。
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7．函數單調性
（1）．增函數
設函數y=f(x)的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變數x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那麼就說f(x)在區間D上是增函數。區間D稱為y=f(x)的單調增區間 （睇清楚課本單調區間的概念）
如果對於區間D上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1<x2 時，都有f(x1)＞f(x2)，那麼就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.
注意：○1 函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質；
○2 必須是對於區間D內的任意兩個自變數x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2) 。
（2） 圖象的特點
如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那麼說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.
(3).函數單調區間與單調性的判定方法
(A) 定義法：
○1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2 作差f(x1)－f(x2)；○3 變形（通常是因式分解和配方）；○4 定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；○5 下結論（指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）．
(B)圖象法(從圖象上看升降)_
(C)復合函數的單調性
復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律如下：
函數 單調性
u=g(x) 增 增 減 減
y=f(u) 增 減 增 減
y=f[g(x)] 增 減 減 增
注意：1、函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集. 2、還記得我們在選修里學習簡單易行的導數法判定單調性嗎？
8．函數的奇偶性
（1）偶函數
一般地，對於函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那麼f(x)就叫做偶函數．
（2）．奇函數
一般地，對於函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那麼f(x)就叫做奇函數．
注意：○1 函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；函數可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。
○2 由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對於定義域內的任意一個x，則－x也一定是定義域內的一個自變數（即定義域關於原點對稱）．
（3）具有奇偶性的函數的圖象的特徵
偶函數的圖象關於y軸對稱；奇函數的圖象關於原點對稱．
總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：○1 首先確定函數的定義域，並判斷其定義域是否關於原點對稱；○2 確定f(－x)與f(x)的關系；○3 作出相應結論：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數．
注意啊：函數定義域關於原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件．首先看函數的定義域是否關於原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或藉助函數的圖象判定 .
9、函數的解析表達式
（1）.函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變數之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.
（2）.求函數的解析式的主要方法有：待定系數法、換元法、消參法等，如果已知函數解析式的構造時，可用待定系數法；已知復合函數f[g(x)]的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍；當已知表達式較簡單時，也可用湊配法；若已知抽象函數表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)
10．函數最大（小）值（定義見課本p36頁）
○1 利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值○2 利用圖象求函數的最大（小）值○3 利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；
第二章 基本初等函數
一、指數函數
（一）指數與指數冪的運算
1．根式的概念：一般地，如果 ，那麼 叫做 的 次方根（n th root），其中 >1，且 ∈ *．
當 是奇數時，正數的 次方根是一個正數，負數的 次方根是一個負數．此時， 的 次方根用符號 表示．式子 叫做根式（radical），這里 叫做根指數（radical exponent）， 叫做被開方數（radicand）．
當 是偶數時，正數的 次方根有兩個，這兩個數互為相反數．此時，正數 的正的 次方根用符號 表示，負的 次方根用符號－ 表示．正的 次方根與負的 次方根可以合並成± （ >0）．由此可得：負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作 。
注意：當 是奇數時， ，當 是偶數時，
2．分數指數冪
正數的分數指數冪的意義，規定：
，
0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義
指出：規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那麼整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪．
3．實數指數冪的運算性質
（1） ? ；
（2） ；
（3） ．
（二）指數函數及其性質
1、指數函數的概念：一般地，函數 叫做指數函數（exponential function），其中x是自變數，函數的定義域為R．
注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1．
2、指數函數的圖象和性質
a>1 0<a<1
圖象特徵 函數性質
向x、y軸正負方向無限延伸 函數的定義域為R
圖象關於原點和y軸不對稱 非奇非偶函數
函數圖象都在x軸上方 函數的值域為R+
函數圖象都過定點（0，1）
自左向右看，
圖象逐漸上升 自左向右看，
圖象逐漸下降 增函數 減函數
在第一象限內的圖象縱坐標都大於1 在第一象限內的圖象縱坐標都小於1
在第二象限內的圖象縱坐標都小於1 在第二象限內的圖象縱坐標都大於1
圖象上升趨勢是越來越陡 圖象上升趨勢是越來越緩 函數值開始增長較慢，到了某一值後增長速度極快； 函數值開始減小極快，到了某一值後減小速度較慢；
注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：
（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；
（2）若 ，則 ； 取遍所有正數當且僅當 ；
（3）對於指數函數 ，總有 ；
（4）當 時，若 ，則 ；
二、對數函數
（一）對數
1．對數的概念：一般地，如果 ，那麼數 叫做以 為底 的對數，記作： （ — 底數， — 真數， — 對數式）
說明：○1 注意底數的限制 ，且 ；
○2 ；
○3 注意對數的書寫格式．
兩個重要對數：
○1 常用對數：以10為底的對數 ；
○2 自然對數：以無理數 為底的對數的對數 ．
2、 對數式與指數式的互化
對數式 指數式
對數底數 ← → 冪底數
對數 ← → 指數
真數← → 冪
（二）對數的運算性質
如果 ，且 ， ， ，那麼：
○1 ? ＋ ；
○2 － ；
○3 ．
注意：換底公式
（ ，且 ； ，且 ； ）．
利用換底公式推導下面的結論（1） ；（2） ．
（二）對數函數
1、對數函數的概念：函數 ，且 叫做對數函數，其中 是自變數，函數的定義域是（0，+∞）．
注意：○1 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。
如： ， 都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．
○2 對數函數對底數的限制： ，且 ．
2、對數函數的性質：
a>1 0<a<1
圖象特徵 函數性質
函數圖象都在y軸右側 函數的定義域為（0，＋∞）
圖象關於原點和y軸不對稱 非奇非偶函數
向y軸正負方向無限延伸 函數的值域為R
函數圖象都過定點（1，0）
自左向右看，
圖象逐漸上升 自左向右看，
圖象逐漸下降 增函數 減函數
第一象限的圖象縱坐標都大於0 第一象限的圖象縱坐標都大於0
第二象限的圖象縱坐標都小於0 第二象限的圖象縱坐標都小於0
（三）冪函數
1、冪函數定義：一般地，形如 的函數稱為冪函數，其中 為常數．
2、冪函數性質歸納．
（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義，並且圖象都過點（1，1）；
（2） 時，冪函數的圖象通過原點，並且在區間 上是增函數．特別地，當 時，冪函數的圖象下凸；當 時，冪函數的圖象上凸；
（3） 時，冪函數的圖象在區間 上是減函數．在第一象限內，當 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當 趨於 時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸．
第三章 函數的應用
一、方程的根與函數的零點
1、函數零點的概念：對於函數 ，把使 成立的實數 叫做函數 的零點。
2、函數零點的意義：函數 的零點就是方程 實數根，亦即函數 的圖象與 軸交點的橫坐標。即：
方程 有實數根 函數 的圖象與 軸有交點 函數 有零點．
3、函數零點的求法：
求函數 的零點：
○1 （代數法）求方程 的實數根；
○2 （幾何法）對於不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯系起來，並利用函數的性質找出零點．
4、二次函數的零點：
二次函數 ．
1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點．
2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點．
3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點．
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