集合在小學數學教學中應用的

Ⅰ 如何進行小學集合概念教學

一、什麼是數學概念
數學概念是客觀現實中的數量關系和空間形式的本質屬性在人腦中中的反映。數學的研究對象是客觀事物的數量關系和空間形式。在數學中，客觀事物的顏色、材料、氣味等方面的屬性都被看作非本質屬性而被舍棄，只保留它們在形狀、大小、位置及數量關系等方面的共同屬性。在數學科學中，數學概念的含義都要給出精確的規定，因而數學概念比一般概念更准確。
小學數學中有很多概念，包括：數的概念、運算的概念、量與計量的概念、幾何形體的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及統計初步知識的有關概念等。這些概念是構成小學數學基礎知識的重要內容，它們是互相聯系著的。如只有明確牢固地掌握數的概念，才能理解運算概念，而運算概念的掌握，又能促進數的整除性概念的形成。
二、小學數學概念的表現形式
在小學數學教材中的概念，根據小學生的接受能力，表現形式各不相同，其中描述式和定義式是最主要的兩種表示方式。
1．定義式
定義式是用簡明而完整的語言揭示概念的內涵或外延的方法，具體的做法是用原有的概念說明要定義的新概念。這些定義式的概念抓住了一類事物的本質特徵，揭示的是一類事物的本質屬性。這樣的概念，是在對大量的探究材料的分析、綜合、比較、分類中，使之從直觀到表象、繼而上升為理性的認識。如「有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形」；「含有未知數的等式叫方程」等等。這樣定義的概念，條件和結論十分明顯，便於學生一下子抓住數學概念的本質。
2．描述式
用一些生動、具體的語言對概念進行描述，叫做描述式。這種方法與定義式不同，描述式概念，一般藉助於學生通過感知所建立的表象，選取有代表性的特例做參照物而建立。如：「我們在數物體的時候，用來表示物體個數的1、2、3、4、5……叫自然數」；「象1.25、0.726、0.005等都是小數」等。這樣的概念將隨著兒童知識的增多和認識的深化而日趨完善，在小學數學教材中一般用於以下兩種情況。
一種是對數學中的點、線、體、集合等原始概念都用描述法加以說明。例如，「直線」這一概念，教材是這樣描述的：拿一條直線，把它拉緊，就成了一條直線。「平面」就用「課桌面」、「黑板面」、「湖面」來說明。
另一種是對於一些較難理解的概念，如果用簡練、概括的定義出現不易被小學生理解，就改用描述式。例如，對直圓柱和直圓錐的認識，由於小學生還缺乏運動的觀點，不能像中學生那樣用旋轉體來定義，因此只能通過實物形象地描述了它們的特徵，並沒有以定義的形式揭示它們的本質屬性。學生在觀察、擺拼中，認識到圓柱體的特徵是上下兩個底面是相等的圓，側面展開的形狀是長方形。
一般來說，在數學教材中，小學低年級的概念採用描述式較多，隨著小學生思維能力的逐步發展，中年級逐步採用定義式，不過有些定義只是初步的，是有待發展的。在整個小學階段，由於數學概念的抽象性與學生思維的形象性的矛盾，大部分概念沒有下嚴格的定義；而是從學生所了解的實際事例或已有的知識經驗出發，盡可能通過直觀的具體形象，幫助學生認識概念的本質屬性。對於不容易理解的概念就暫不給出定義或者採用分階段逐步滲透的辦法來解決。因此，小學數學概念呈現出兩大特點：一是數學概念的直觀性；二是數學概念的階段性。在進行數學概念教學時，我們必須注意充分領會教材的這兩個特點。
三、小學數學概念教學的意義
首先，數學概念是數學基礎知識的重要組成部分。
小學數學的基礎知識包括：概念、定律、性質、法則、公式等，其中數學概念不僅是數學基礎知識的重要組成部分，而且是學習其他數學知識的基礎。學生掌握基礎知識的過程，實際上就是掌握概念並運用概念進行判斷、推理的過程。數學中的法則都是建立在一系列概念的基礎上的。事實證明，如果學生有了正確、清晰、完整的數學概念，就有助於掌握基礎知識，提高運算和解題技能。相反，如果一個學生概念不清，就無法掌握定律、法則和公式。例如，整數百以內的筆算加法法則為：「相同數位對齊，從個位加起，個位滿十，就向十位進一。」要使學生理解掌握這個法則，必須事先使他們弄清「數位」、「個位」、「十位」、「個位滿十」等的意義，如果對這些概念理解不清，就無法學習這一法則。又如，圓的面積公式S=πr2，要以「圓」、「半徑」、「平方」、「圓周率」等概念為基礎。總之小學數學中的一些概念對於今後的學習而言，都是一些基本的、基礎的知識。小學數學是一門概念性很強的學科，也就是說，任何一部分內容的教學，都離不開概念教學。
其次，數學概念是發展思維、培養數學能力的基礎。
概念是思維形式之一，也是判斷和推理的起點，所以概念教學對培養學生的思維能力能起重要作用。沒有正確的概念，就不可能有正確的判斷和推理，更談不上邏輯思維能力的培養。例如，「含有未知數的等式叫做方程」，這是一個判斷。在這個判斷中，學生必須對「未知數」、「等式」這幾個概念十分清楚，才能形成這個判斷，並以此來推斷出下面的6道題目，哪些是方程。
(1)56+23＝79 (2)23-x＝67 (3)x÷5＝4.5
(4)44×2＝88 (5)75÷x＝4 (6)9+x＝123
在概念教學過程中，為了使學生順利地獲取有關概念，常常要提供豐富的感性材料讓學生觀察，在觀察的基礎上通過教師的啟發引導，對感性材料進行比較、分析、綜合，最後再抽象概括出概念的本質屬性。通過一系列的判斷、推理使概念得到鞏固和運用。從而使學生的初步邏輯思維能力逐步得到提高。
6.1.3 數學概念教學的一般要求
1．使學生准確理解概念
理解概念，一要能舉出概念所反映的現實原型，二要明確概念的內涵與外延，即明確概念所反映的一類事物的共同本質屬性，和概念所反映的全體對象，三要掌握表示概念的詞語或符號。
2．使學生牢固掌握概念
掌握概念是指要在理解概念的基礎上記住概念，正確區分概念的肯定例證和否定例證。能對概念進行分類，形成一定的概念系統。
3．使學生能正確運用概念
概念的運用主要表現在學生能在不同的具體情況下，辨認出概念的本質屬性，運用概念的有關屬性進行判斷推理。
四、小學數學概念教學的過程與方法
根據數學概念學習的心理過程及特徵，數學概念的教學一般也分為三個階段：①引入概念，使學生感知概念，形成表象；②通過分析、抽象和概括，使學生理解和明確概念；③通過例題、習題使學生鞏固和應用概念。
（一）數學概念的引入
數學概念的引入，是數學概念教學的第一個環節，也是十分重要的環節。概念引入得當，就可以緊緊地圍繞課題，充分地激發起學生的興趣和學習動機，為學生順利地掌握概念起到奠基作用。
引出新概念的過程，是揭示概念的發生和形成過程，而各個數學概念的發生形成過程又不盡相同，有的是現實模型的直接反映；有的是在已有概念的基礎上經過一次或多次抽象後得到的；有的是從數學理論發展的需要中產生的；有的是為解決實際問題的需要而產生的；有的是將思維對象理想化，經過推理而得；有的則是從理論上的存在性或從數學對象的結構中構造產生的。因此，教學中必須根據各種概念的產生背景，結合學生的具體情況，適當地選取不同的方式去引入概念。一般來說，數學概念的引入可以採用如下幾種方法。
1、以感性材料為基礎引入新概念。
用學生在日常生活中所接觸到的事物或教材中的實際問題以及模型、圖形、圖表等作為感性材料，引導學生通過觀察、分析、比較、歸納和概括去獲取概念。
例如，要學習「平行線」的概念，可以讓學生辨認一些熟悉的實例，像鐵軌、門框的上下兩條邊、黑板的上下邊緣等，然後分化出各例的屬性，從中找出共同的本質屬性。鐵軌有屬性：是鐵制的、可以看成是兩條直線、在同一個平面內、兩條邊可以無限延長、永不相交等。同樣可分析出門框和黑板上下邊的屬性。通過比較可以發現，它們的共同屬性是：可以抽象地看成兩條直線；兩條直線在同一平面內；彼此間距離處處相等；兩條直線沒有公共點等，最後抽象出本質屬性，得到平行線的定義。
以感性材料為基礎引入新概念，是用概念形成的方式去進行教學的，因此教學中應選擇那些能充分顯示被引入概念的特徵性質的事例，正確引導學生去進行觀察和分析，這樣才能使學生從事例中歸納和概括出共同的本質屬性，形成概念。
2、以新、舊概念之間的關系引入新概念。
如果新、舊概念之間存在某種關系，如相容關系、不相容關系等，那麼新概念的引入就可以充分地利用這種關系去進行。
例如，學習「乘法意義」時，可以從「加法意義」來引入。又如，學習「整除」概念時，可以從「除法」中的「除盡」來引入。又如，學習「質因數」可以從「因數」和「質數」這兩個概念引入。再如，在學習質數、合數概念時，可用約數概念引入：「請同學們寫出數1，2，6，7，8，12，11，15的所有約數。它們各有幾個約數？你能給出一個分類標准，把這些數進行分類嗎？你能找出多種分類方法嗎？你找出的所有分類方法中，哪一種分類方法是最新的分類方法？」
3、以「問題」的形式引入新概念。
以「問題」的形式引入新概念，這也是概念教學中常用的方法。一般來說，用「問題」引入概念的途徑有兩條：①從現實生活中的問題引入數學概念；②從數學問題或理論本身的發展需要引入概念。
4、從概念的發生過程引入新概念。
數學中有些概念是用發生式定義的，在進行這類概念的教學時，可以採用演示活動的直觀教具或演示畫圖說明的方法去揭示事物的發生過程。例如，小數、分數等概念都可以這樣引入。這種方法生動直觀，體現了運動變化的觀點和思想，同時，引入的過程又自然地、無可辯駁地闡明了這一概念的客觀存在性。
（二）數學概念的形成
引入概念，僅是概念教學的第一步，要使學生獲得概念，還必須引導學生准確地理解概念，明確概念的內涵與外延，正確表述概念的本質屬性。為此，教學中可採用一些具有針對性的方法。
1、對比與類比。
對比概念，可以找出概念間的差異，類比概念，可以發現概念間的相同或相似之處。例如，學習「整除」概念時，可以與「除法」中的「除盡」概念進行對比，去比較發現兩者的不同點。用對比或類比講述新概念，一定要突出新、舊概念的差異，明確新概念的內涵，防止舊概念對學習新概念產生的負遷移作用的影響。
2、恰當運用反例。
概念教學中，除了從正面去揭示概念的內涵外，還應考慮運用適當的反例去突出概念的本質屬性，尤其是讓學生通過對比正例與反例的差異，對自己出現的錯誤進行反思，更利於強化學生對概念本質屬性的理解。
用反例去突出概念的本質屬性，實質是使學生明確概念的外延從而加深對概念內涵的理解。凡具有概念所反映的本質屬性的對象必屬於該概念的外延集，而反例的構造，就是讓學生找出不屬於概念外延集的對象，顯然，這是概念教學中的一種重要手段。但必須注意，所選的反例應當恰當，防止過難、過偏，造成學生的注意力分散，而達不到突出概念本質屬性的目的。
3、合理運用變式。
依靠感性材料理解概念，往往由於提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本質屬性具有較明顯的突出特徵，容易形成干擾的信息，而削弱學生對概念本質屬性的正確理解。因此，在教學中應注意運用變式，從不同角度、不同方面去反映和刻畫概念的本質屬性。一般來說，變式包括圖形變式、式子變式和字母變式等。
例如，講授「等腰三角形」概念，教師除了用常見的圖形展示外，還應採用變式圖形去強化這一概念，因為利用等腰三角形的性質去解題時，所遇見的圖形往往是後面幾種情形。
（三）數學概念的鞏固
為了使學生牢固地掌握所學的概念，還必須有概念的鞏固和應用過程。教學中應注意如下幾個方面。
1、注意及時復習
概念的鞏固是在對概念的理解和應用中去完成和實現的，同時還必須及時復習，鞏固離不開必要的復習。復習的方式可以是對個別概念進行復述，也可以通過解決問題去復習概念，而更多地則是在概念體系中去復習概念。當概念教學到一定階段時，特別是在章節末復習、期末復習和畢業總復習時，要重視對所學概念的整理和系統化，從縱向和橫向找出各概念之間的關系，形成概念體系。
2、重視應用
在概念教學中，既要引導學生由具體到抽象，形成概念，又要讓學生由抽象到具體，運用概念，學生是否牢固地掌握了某個概念，不僅在於能否說出這個概念的名稱和背誦概念的定義，而且還在於能否正確靈活地應用，通過應用可以加深理解，增強記憶，提高數學的應用意識。
概念的應用可以從概念的內涵和外延兩方面進行。
（1）概念內涵的應用
①復述概念的定義或根據定義填空。
②根據定義判斷是非或改錯。
③根據定義推理。
④根據定義計算。
例4（1）什麼叫互質數？答： 是互質數。
（2）判斷題：
27和20是互質數（ ）
34與85是互質數（ ）
有公約數1的兩個數是互質數（ ）
兩個合數一定不是互質數（ ）
（ 3）鈍角三角形的一個角是 82o，另兩個角的度數是互質數，這兩個角可能是多少度？
（4）如果P是質數，那麼比P小的自然數都與P互質。這句話對嗎？請說明理由？
2．概念外延的應用
（1）舉例
（2）辨認肯定例證或否定例證。並說明理由。
（3）按指定的條件從概念的外延中選擇事例。
（4）將概念按不同標准分類。
例5（1）列舉你所見到過的圓柱形物體。
（2）下列圖形中的陰影部分，哪些是扇形？（圖6－2）
（3）分母是9的最簡真分數有＿分子是9的假分數中，最小的一個是
（4）將自然數2－19按不同標准分成兩類（至少提出3種不同的分法）
概念的應用可分為簡單應用和綜合應用，在初步形成某一新概念後通過簡單應用可以促進對新概念的理解，綜合應用一般在學習了一系列概念後，把這些概念結合起來加以應用，這種練習可以培養學生綜合運用知識的能力。
五、小學數學概念教學中應注意的問題
1、把握概念教學的目標，處理好概念教學的發展性與階段性之間的矛盾。
概念本身有自己嚴密的邏輯體系。在一定條件下，一個概念的內涵和外延是固定不變的，這是概念的確定性。由於客觀事物的不斷發展和變化，同時也由於人們認識的不斷深化，因此，作為人們反映客觀事物本質屬性的概念，也是在不斷發展和變化的。但是，在小學階段的概念教學，考慮到小學生的接受能力，往往是分階段進行的。如對「數」這個概念來說，在不同的階段有不同的要求。開始只是認識1、2、3、……，以後逐漸認識了零，隨著學生年齡的增大，又引進了分數(小數)，以後又逐漸引進正、負數，有理數和無理數，把數擴充到實數、復數的范圍等。又如，對「0」的認識，開始時只知道它表示沒有，然後知道又可以表示該數位上一個單位也沒有，還知道「0」可以表示界限等。
因此，數學概念的系統性和發展性與概念教學的階段性成了教學中需要解決的一對矛盾。解決這一矛盾的關鍵是要切實把握概念教學的階段性目標。
為了加強概念教學，教師必須認真鑽研教材，掌握小學數學概念的系統，摸清概念發展的脈絡。概念是逐步發展的，而且諸概念之間是互相聯系的。不同的概念具體要求會有所不同，即使同一概念在不同的學習階段要求也有差別。
有許多概念的含義是逐步發展的，一般先用描述方法給出，以後再下定義。例如，對分數意義理解的三次飛躍。第一次是在學習小數以前，就讓學生初步認識了分數，「像上面講的 、、、、、等，都是分數。」通過大量感性直觀的認識，結合具體事物描述什麼樣的是分數，初步理解分數是平均分得到的，理解誰是誰的幾分之幾。第二次飛躍是由具體到抽象，把單位「1」平均分成若干份，表示其中的一份或幾份都可以用分數來表示。從具體事物中抽象出來。然後概括分數的定義，這只是描述性地給出了分數的概念。這是感性的飛躍。第三次飛躍是對單位「1」的理解與擴展，單位「1」不僅可以表示一個物體、一個圖形、一個計量單位，還可以是一個群體等，最後抽象出，分誰，誰就是單位「1」，這樣單位「1」與自然數「1」的區別就更加明確了。這樣三個層次不是一蹴而就的，要展現知識的發展過程，引導學生在知識的發生發展過程中去理解分數。
再如長方體和立方體的認識在許多教材中是分成兩個階段進行教學的。在低年級，先出現長方體和立方體的初步認識，通過讓學生觀察一些實物及實物圖，如裝墨水瓶的紙盒、魔方等。積累一些有關長方體和立方體的感性認識，知道它們各是什麼形狀，知道這些形狀的名稱。然後，通過操作、觀察，了解長方體和立方體各有幾個面，每個面是什麼形狀，進一步加深對長方體和立方體的感性認識。再從實物中抽象出長方體和立方體的圖形(並非透視圖)。但這一階段的教學要求只要學生知道長方體和立方體的名稱，能夠辨認和區分這些形狀即可。僅僅停留在感性認識的層次上。第二階段是在較高年級。教學時仍要從實例引入。教學長方體的認識時，先讓學生收集長方體的物體，教師先說明什麼是長方體的面、棱和頂點，讓學生數一數面、棱和頂點各自的數目，量一量棱的長度，算一算各個面的大小，比較上下、左右、前後棱和面的關系和區別。然後歸納出長方體的特徵。再從長方體的實例中抽象出長方體的幾何圖形。進而可以讓學生對照實物，觀察圖形，弄清楚不改變觀察方向，最多可以看到幾個面和幾條棱。哪些是看不見的，圖中是怎樣來表示的。還可以讓學生想一想，看一看，逐步看懂長方體的幾何圖形，形成正確的表象。
在把握階段性目標時，應注意以下幾點：
(1)在每一個教學階段，概念都應該是確定的，這樣才不致於造成概念混亂的現象。有些概念不嚴格下定義，但也要依據學生的接受能力，或者用描述代替定義，或者用比較通俗易懂的語言揭示概念的本質特徵。同時注意與將來的嚴格定義不矛盾。
(2)當一個教學階段完成以後，應根據具體情況，酌情指出概念是發展的，不斷變化的。如：有一位學生在認識了長方體之後，認為課本中的任何一張紙的形狀也是長方體的。說明該學生對長方體的概念有了更進一步的理解，教師應加以肯定。
(3)當概念發展後，教師不但指出原來概念與發展後概念的聯系與區別，以便學生掌握，而且還應引導學生對有關概念進行研究，注意其發展變化。如「倍」的概念，在整數范圍內，通常所指的是，如果把甲量當作1份，而乙量有這樣的幾份，那麼乙量就是甲量的幾倍。在引入分數以後，「倍」的概念發展了，發展後的「倍」的概念，就包含了原來的「倍」的概念。如果把甲量當作l份，乙量也可以是甲量的幾分之幾。
因此，在數學概念教學中，要搞清概念之間的順序，了解概念之間的內在聯系。數學概念隨著客觀事物本身的發展變化和研究的深入不斷地發展演變。學生對數學概念的認識，也需要隨著數學學習的程度的提高，由淺入深，逐步深化。教學時既要注意教學的階段性，不能把後面的要求提到前面，超越學生的認識能力；又要注意教學的連續性，教前面的概念要留有餘地，為後繼教學打下埋伏。從而處理好掌握概念的階段性與連續性的關系。
2、加強直觀教學，處理好具體與抽象的矛盾
盡管教材中大部分概念沒有下嚴格的定義，而是從學生所了解的實際事例或已有的知識經驗出發，盡可能通過直觀的具體形象，幫助學生認識概念的本質屬性。對於不容易理解的概念就暫不給出定義或者採用分階段逐步滲透的辦法來解決。但對於小學生來說，數學概念還是抽象的。他們形成數學概念，一般都要求有相應的感性經驗為基礎，而且要經歷一番把感性材料在腦子里來回往復，從模糊到逐漸分明，從許多有一定聯系的材料中，通過自己操作、思維活動逐步建立起事物一般的表象，分出事物的主要的本質特徵或屬性，這是形成概念的基礎。因此，在教學中，必須加強直觀，以解決數學概念的抽象性與學生思維形象性之間的矛盾。
（1）通過演示、操作進行具體與抽象的轉化
教學中，對於一些相對抽象的內容，盡可能地利用恰當的演示或操作使其轉化為具體內容，然後在此基礎上抽象出概念的本質屬性。
幾何初步知識，無論是線、面、體的概念還是圖形特徵、性質的概念都非常抽象，因此，教學中更要加強演示、操作，通過讓學生量一量、摸一摸、擺一擺、拼一拼來讓學生體會這些概念，從而抽象出這些概念。
例如「圓周率」這一概念非常抽象，有的教師在課前，布置每個學生用硬紙製做一個圓，半徑自定。上課時，就讓每個學生在課堂作業本上寫出三個內容：(1)寫出自己做的圓的直徑；(2)滾動自己的圓，量出圓滾動一周的長度，寫在練習本上；(3)計算圓的周長是直徑的幾倍。全班同學做完後，要求每個同學匯報自己計算的結果。
然後引導學生分析發現：不管圓的大小，它的周長總是直徑的3倍多一點。這時再揭示：這個倍數是個固定的數，數學上叫做圓周率。再讓學生任意畫一個圓，量出直徑和周長加以驗證。這樣，引導學生把大量的感性材料，加以分析、綜合、抽象、概括，拋棄事物的非本質屬性(如圓的大小、測量時用的單位等)，抓住事物的本質特徵(圓的周長總是直徑的3倍多一點)，形成了概念。
這樣教師藉助於直觀教學，運用學生原有的一些基礎知識，逐步抽象，環環緊扣，層次清楚。通過實物演示，使學生建立表象，從而解決了數學知識的抽象性與兒童思維的形象性的矛盾。
（2）結合學生的生活實際進行具體與抽象的轉化
教學中有許多數量關系都是從具體生活內容中抽象出來的，因此，在教學中應該充分利用學生的生活實際，運用恰當的方式進行具體與抽象的轉化，即把抽象的內容轉化為學生的具體生活知識，在此基礎上又將其生活知識抽象為教學內容。
例如乘法交換律的教學，往往讓學生先解答這樣的習題：一種鋼筆，每盒10支，每支3元，買2盒鋼筆要多少元?學生在實際解答中發現，這道題可以有兩種解答思路，一種是先求出「每盒多少元」，再求出「2盒要多少元」，算式是(3×10) ×2＝60元；另一種是先求出「一共有多少支鋼筆」，再求出「2盒多少元」，算式是3×(2×10)＝60元。乘法分配律的教學也是讓學生解答類似的問題，如：一件上衣50元，一條褲子30元，買這樣的5套衣服需要多少元?這樣藉助於學生熟悉的生活情景，使抽象的問題變得具體化。
同樣常見數量關系中的單價、總價與數量之間的關系；路程、速度與時間的關系，工作量、工作效率與工作時間之間的關系等，都應結合學生的生活經驗，通過具體的題目將其抽象出來，然後又利用這些關系來分析解決問題。這樣的訓練有利於使學生的思維逐漸向抽象思維過渡，逐步緩解知識的抽象性與學生思維的具體形象性的矛盾。
但是，運用直觀並不是目的，它只是引起學生積極思維的一種手段。因此概念教學不能只停留在感性認識上，在學生獲得豐富的感性認識後，要對所觀察的事物進行抽象概括，揭示概念的本質屬性，使認識產生飛躍，從感性上升到理性，形成概念。
3、遵循小學生學習概念的特點，組織合理有序的教學過程
盡管小學生獲取概念有概念形成和概念同化這兩種基本形式，各類概念的形成又有各自的特點，但不管以何種方式獲得概念，一般都會遵循從「引入一理解一鞏固一深化」這樣的概念形成路徑。下面就概念教學中每個環節的教學策略及應注意的問題作一闡述。
（1）概念的引入要注重提供豐富而典型的感性材料
在概念引入的過程中，要注意使學生建立起清晰的表象。因為建立能突出事物共性的、清晰的典型表象是形成概念的重要基礎，因此，在小學數學的概念教學中，無論以什麼方式引入概念，都應考慮如何使小學生在頭腦中建立起清晰的表象。概念教學一開始，應根據教學內容運用直觀手段向學生提供豐富而典型的感性材料，如採用實物、模型、掛圖，或進行演示，引導學生觀察，並結合實驗，讓學生自己動手操作，以便讓學生接觸有關的對象，豐富自己的感性認識。
如在一節教學分數的意義的課上，一位教師為了突破單位「l」這一教學難點，事先向學生提供了各種操作材料：一根繩子，4隻蘋果圖，6隻熊貓圖，一張長方形紙，l米長的線段等，通過比較、歸納出：一個物體、一個計量單位、一個整體都可以用單位「1」表示，從而突破理解單位「1」這一難點，為理解分數的意義奠定了基礎。

Ⅱ 小學數學什麽叫集合

集合是數學中一個不加定義概念，它是集合論的研究對象，集合論的基本專理論在屬19世紀被數學家康托爾創立。最簡單的說法，就是在最原始的集合論——樸素集合論中的定義，集合就是「一些東西」。集合里的「東西」，叫作元素。集合有元素組成，沒有元素的集合叫做空集，有不明白請追問，望採納哦！

Ⅲ 舉例說明在小學數學教學中如何滲透集合的概念

在小學數學教學中如何滲透集合思想的幾點做法

集合是近代數學中的一個重要概念。集合思想是現代數學思想向小學數學滲透的重要標志，在解決某些數學問題時，若是運用集合思想，可以使問題解決得更簡單明了。集合論的創始人是德國的數學家康托（1845——1918），其主要思想方法可歸結為三個原則，即概括原則、外延原則、一一對應原則。自集合論創立以來，它的概念、思想和方法已經滲透到現代數學的各個分支中，成為現代數學的基礎。瑞士數學家歐拉（1707——1787）最早使用了表示兩個非空集之間的關系的圖，現稱歐拉圖。英國數學家維恩最早使用了另一種圖即可以用於表示任意的幾個集合（不論它們之間的關系如何，都可以畫成同一樣式），又稱「維恩圖」，用維恩圖表示集合，有助於探索某些數學題的解決思路。
布魯納曾說，掌握基本的數學思想方法能使數學更易於理解和記憶，領會基本數學思想方法是通向遷移大道的「光明之路」。數學思想方法不但對學生學習具有普遍的指導意義，而且有利於學生形成科學的思維方式和思維習慣。
集合思想包括概念、子集思想、交集思想、並集思想、差集思想、空集思想、一一對應思想等，作為數學思想方法的一種，在教學中是具有很大的指導意義的。那麼，在小學數學教學中我們應該如何應用集合思想進行教學活動呢?
一、集合概念在小學數學教學中的應用
集合思想的概念在教學中是不必向學生作解釋的，教師主要指導學生看懂集合圖的意思，會根據集合圖來解題或者幫助解題。圖形本身直觀地應用了集合的表示方法——圖示法，因此在小學低年級中運用這個方法對於教學是很有幫助的。
在認數教學中，教師要結合各種集合圖，可以是選用書本上的，也可以是選用一些生活中常見的事物自己畫。同時還可以反過來給學生一個數字，讓學生畫集合圖，這樣既可以讓學生開動腦筋發揮自己的想像，也可以讓學生更了解集合中的元素與基數概念的聯系。
在日常教學中，教師還要讓學生理解一些用來描述集合的常用術語，如「一些」、「一堆」、「一組」、「一群」等。比如說，在小學數學教材北師大版一年級（上冊）的第四單元分類中，就出現了這么一張圖，讓學生觀察，要求把玩具放一堆，文具放一堆,服裝鞋帽放一堆,這種把具有同一種屬性的東西放在一起，這就是集合的整體概念。
在認識0-10的十一個數字中，每個數字都有一張相應的集合圖，也就是告訴學生，一個集合中有幾個元素就用「幾」來表示。如北師大版一年級（上冊）第4頁找一找的活動中「1」可以表示圖里的一座房子；「2」可以表示圖里的兩個人。這就很形象的把集合中的元素與基數的概念有機的聯系起來。
二、子集、交集、並集、差集、空集思想在小學數學教學中的應用
1、子集思想在小學數學教學中的應用
教學數的大小這一問題時，就可以應用子集思想。如北師大版二年級(下冊)第36頁試一試中,給出一些數，組成一個數的集合，元素有387、99、809、 345、1725、4300等。同時給出要求，先把給出的數分類，再比較大小。這把數分類就相當於是把整個數的集合中的元素，按要求分別把他們放入三個子集合中。（如下圖） 對於這類問題，應用集合思想就能讓學生非常直觀、容易地理解。
2、 交集思想在小學數學教學中的應用
如有這么一道應用題：一個班有48人。班主任在班會上問：「誰做完了數學作業？」這時有42人舉手。又問：「誰做完了語文作業？」這時有37人舉手。最後又問：「誰語文、數學作業都沒有做完？」沒有人舉手。請問：這個班語文、數學作業都做完的有幾人？
一看這道題就會想到要用維恩圖來算比較簡單。畫一個長方形表示全集，完成語文作業的學生集合（A），完成數學作業的學生集合（B），A、B有相交部分
因為A內的兩部分表示人數和就是完成語文作業的人數（37人），所以A外、B內的那部分表示的人數為48-37=11（人），者是 完成了數學作業但沒有完成語文作業的人數。因此，語文、數學兩種作業都完成了的人數是42-11=31人。
教學公約數、公倍數這一內容時，也通常應用交集思想，如 ：
12的約數 18的約數
3、並集思想在小學數學教學中的應用
在小學一年級的教材中，並集被用於說明加法的意義，如北師大版一年級（上冊）第22頁解決「有幾只鉛筆」這個問題，一幅圖中小朋友左手裡拿了兩只鉛筆，右手裡拿了三隻鉛筆，另一幅中小朋友把兩只手合在一起，就是把左手和右手中的鉛筆並在一起。2＋3＝5（只）
還有北師大版一年級(上冊)第68頁11～20各數的認識中，對於「11」,先把10根小棒捆成一捆，組成十位上的「1」，然後再數1根組成「11」了。同理在教學12、13、14、15等數時，也都應該採用並集思想。
又如，北師大版一年級(上冊)第72頁:9＋5＝? 教材中顯示把5根小棒分成1根和4根,把1根和9根結合在一起，組成十根捆在一起，作為十位上的「1」，這也運用了並集思想。
4、差集思想在小學數學教學中的應用
在小學一年級的教材中，差集被用於說明減法的意義。如北師大版一年級（上冊）第26頁「摘果子」樹上原有5個蘋果，被小朋友摘走2個，就剩下樹上（集合）的3個蘋果（元素）：5－2＝3（個）
又比如說還是本頁的「做一做」：圖中總共有5個圓圈，其中4個圓圈用線劃去，表示去掉的，就剩下5－4＝1（個）了。在教材中一般用線劃去或虛線圈起來的都是要剪掉的部分.
5、空集思想在小學數學教學中的應用
空集表示這個集合沒有元素。空集思想的應用主要出現在教學「0」的時候，如北師大版一年集（上冊）第8頁「小貓釣魚」，每隻小貓的袋子表示集合，袋子里的魚表示元素。第一幅圖里，袋子里有三條魚，該集合里有3個元素；第二幅圖里，袋子里有兩條魚，該集合里有2個元素；第三幅圖里，袋子里有一條魚，該集合里有1個元素；第四幅圖里，袋子沒有魚，該集合中沒有元素，也就是空集。
三、一一對應思想在小學數學教學中的應用
一一對應思想在教材中體現的較多，在比較兩個集合所包含的元素的多少時就一定得用建立一一對應關系的方法來解決，同時，「一一對應」思想也是現代函數思想的基礎。一一對應思想在小學數學教材中主要以兩種形式呈現：第一種是比多少，第二種是由一個集合經過對應法則得到另一個集合。
在教學比多少時，教師首先要把集合中的元素一一的排列起來。如北師大版一年級（上冊）第43頁：
比 多
比 少
在教學第二種情況，一個集合經過對應法則得到另一個集合時，教師要向學生解釋清楚對應法則是對已給出的集合中的每一個元素都起作用的。
如人教版三年級（下冊）第23頁
這類算式與算式的配對，也正是一一對應思想的應用。
數學教育學家波利亞說過：「數學教師的首要責任是盡其一切可能，來發展學生解決問題的能力。」教師在問題探索的教學中不能就題論題，授之以「漁」遠比授之以「魚」來的重要。這個「漁」就是指隱含於數學問題探索中的數學思想方法。學生只有逐步形成用數學思想方法指導思維活動，才會在遇到其它問題時胸有成竹，從容對待。新課標也指出：結合有關知識的教學，適當的滲透集合、函數等數學思想方法，以加深對基礎知識的理解。作為數學教師，在教學中應當大膽地應用集合思想，讓學生在學習中獲得對集合思想的感性認識，並逐步形成運用集合思想的觀念。

Ⅳ 小學數學學集合嗎

有學習簡單的集合，比如小學數學中關於因數和最大公因數就是集合中關於並集的知識。只是小學階段是很簡單的教學點

Ⅳ 小學數學中的交集怎麼解釋

交集就是把這些集合裡面相同的東西取出來組成一個新的集合，就叫交集。

如果，A是了個集合，B是一個集合，C是A和B的共同部分，C就是A和B的交集。

Ⅵ 小學三年級數學中集合定義該怎樣表述

數分為實數R和虛數I.那麼R不屬於I且R∩I=Φ.那麼可能就把這個定義為：如果兩個集專合沒有交集.以一個集合為全集屬.那麼另一個集合的補集就是它本身.例如{1}∩{3}=Φ.以{1}為全集.{3}的補集為{3}.

Ⅶ 小學生學習數學的重要轉折點是什麼

一、讓小學生學會「分類思考法」

分類既是一種數學思考方法，又是自然科學及社會科學研究中的基本邏輯方法。數學的分類思想方法體現對數學對象的分類及其分類的標准。如對自然數的分類，若按能否被2整除可分為奇數和偶數，若按約數的個數分則可分為質數、合數和1。又如三角形既可按角分，也可按邊分。不同的分類標准就會有不同的分類結果，從而產生新的概念。對數學對象的正確、合理分類取決於分類標準的正確、合理性。數學知識的分類有助於學生對知識的梳理和建構。例如把1、2、3……20這二十個自然數分類。

二、讓小學生學會「符號思考法」

西方較早地在數學研究中引進了符號，十六世紀數學家韋達對數學符號作了很多改進，並且第一個有意識地系統地用字母表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數學研究的重大拓展，奠定了符號代數的基礎，後來大數學家笛卡兒對韋達使用的字母又作了改進。用符號化的語言（包括字母、數字、圖形和各種特定的符號）來描述數學的內容，這就是符號思考方法。在數學中各種量的關系，量的變化以及量與量之間進行推導和演算，都是用小小的字母表示數，以符號的濃縮形式來表達大量的信息，如乘法分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c，這里的a、b、c不僅可以表示1、2、3，也可以表示4、5、6、7……長方形的面積計算公式s＝a×b，不管世界上有多少個不同的長方形，都可用它計算出來。又如在「有餘數的除法」教學中，最後出現一道思考題：「六一」聯歡會上，小明按照3個紅氣球、2個黃氣球、1個藍氣球的順序把氣球串起來裝飾教室。你能知道第24個氣球是什麼顏色的嗎？解決這個問題，學生可以有多種方法。如，用書寫簡便的字母a、b、c分別表示紅、黃、藍氣球，則按照題意可以轉化成如下符號形式：aaabbc aaabbc aaabbc aaabbc ……從而可以直觀地找出氣球的排列規律，並推出第24個氣球是藍色的。上例所分析的這些都是符號思想的具體體現，它們將所有的數據實例集為一體，把復雜的語言文字敘述用簡潔明了的字母公式表示出來，便於記憶，便於運用，正如華羅庚所說的「數學的特點是抽象，正因為如此，用符號表示就更具有廣泛的應用性與優越性」。

三、讓小學生學會「類比思考法」

類比方法具有啟發思路、提供線索、觸類旁通的作用。如教學比的基本性質，需要引導學生把它與分數的基本性質、商不變的性質進行橫向類比溝通。又如講平行四邊形時，先復習三角形的有關知識，然後以三角形為基礎，把平行四邊形與三角形進行類比，建立平行四邊形諸如邊、頂點、角、底、高等概念體系，使學生不僅在類比的情境中建立新概念，發現新問題，而且學到研究事物的方法。在解題教學中，當學生面對一個比較生疏或比較復雜的問題而一籌莫展時，啟發他們去尋找另一個比較熟悉或比較簡單的問題作為類比對象。有時原問題與類比對象的解決途徑和方法比較類似;有時類比對象的解決途徑和方法提供了一種解決類似問題的模式或程序。因此，通過類比啟發，可獲得原問題的解決途徑和方法。如教完「工作問題」後，出示這樣一道題：甲乙兩輛汽車同時從兩地相對開出，經過6小時相遇。己知甲車行完全程要10小時，乙車行完全程要幾小時?有意引導學生發現「行程問題」與「工作問題」的相似之處，在鼓勵學生觀察、聯想、類比後，學生茅塞頓開，恍然大悟，思維得到了啟迪，解題思路得到了溝通，嘗試了數學發現的快樂，也使他們的認識產生了由感性到理性的升華。

四、讓小學生學會「集合思考法」

集合思想是近代數學的最基本思想，許多重要的數學分支，如數理邏輯、實變函數、概率統計等都建立在集合理論的基礎上。小學數學採用直觀手段，利用圖形和實物滲透集合的思想。如在數的認識時出現韋恩圖，在講述公約數和公倍數時孕伏了交集的思想方法。把一組對象放在一起，作為討論的范圍，這是人類早期就有的思想方法,繼而把一定程度抽象了的思維對象，如數學上的點、數、式放在一起作為研究對象，這種思想就是集合思想。集合思想作為一種思想，在小學數學中就有所體現。在小學數學中，集合概念是通過畫集合圖的辦法來滲透的。如用圓圈圖（韋恩圖）向學生直觀的滲透集合概念。讓他們感知圈內的物體具有某種共同的屬性，可以看作一個整體，這個整體就是一個集合。利用圖形間的關系則可向學生滲透集合之間的關系，如長方形集合包含正方形集合，平行四邊形集合包含長方形集合，四邊形集合又包含平行四邊行集合等。

五、讓小學生學會「數形結合思考法」

數與形是現實世界中客觀事物的抽象與反映，是數學的兩大支柱。由數想形，以形輔數，數形結合，可以幫助學生從不同側面認識和理解數學知識，是幫助學生正確理解題意，找到解決問題的方法而進行思維過渡的中間環節。表現為:(1)以形輔數，對抽象的數學問題賦予直觀圖形意義，即通過線段圖、樹形圖，或集合圖來幫助學生理解數量關系，使復雜問題明朗化。(2)以數助形，對直觀圖形賦予數的意義，要求根據直觀圖形抽象為數的問題。如較復雜的平面或空間圖形問題，可運用數量關系、公式、法則、計算等手段，使之轉化為簡單的數量關系來處理。

六、讓小學生學會「轉化思考法」

轉化是解決問題的一種最基本的思想方法。數學教學的任務之一是使學生學會怎樣去化繁就簡、化難為易、化陌生為熟悉、化未知為己知。如整數、小數、分數、百分數可以相互轉化;幾何形體中的等積轉化，都是轉化思想的具體體現。教學時通過數的計算，使學生了解加與減、乘與除可以相互轉化，並掌握轉化的方法;通過正歸一的應用題用反歸一的方法來解答，形成矛盾在一定條件下可以相互轉化的觀點;通過方程的教學，使學生了解方程的同解變化，理解未知轉化為已知，繁雜問題轉化為簡單問題是處理問題的一種策略。

數學解題過程的本質就是運用數學體系內部各對象間、數學與其他學科間的內在聯系，不斷轉化問題的已知條件和求解目標，發現已知條件與求解目標間的內在聯系，實現己知探索未知的目標。如買4雙球鞋與12雙布鞋的價錢相等，買2雙球鞋與3雙布鞋要付29.7元，球鞋和布鞋每雙各多少元?由已知條件可以推知，2雙球鞋價等於6雙布鞋價，用6雙布鞋「替代」2雙球鞋，把「買2雙球鞋和3雙布鞋要付29.7元」轉化為「買6雙布鞋和3雙布鞋要付29.7元」，問題也就迎刃而解了。

七、讓小學生學會「歸納思考法」

歸納是由特殊到一般的思維方法，也是人類認識世界的基本方法和普遍規律之一。教材中提供的歸納材料很多，第一類是概念、法則、性質的歸納，大多採取「特殊實例展示→本質屬性抽象→一般事物的推廣」的方式給出歸納過程。如直徑1厘米的圓周長約3.14厘米，直徑2厘米的圓周長約是6.28厘米，直徑3厘米的圓周長約是9.42厘米，……從中可以發現規律，一個圓的周長是直徑的3倍多一些。第二類是解題方法的歸納，我們不但要重視解題中間過程的歸納，還應重視解題開始和解題之後的歸納。解題開始時的歸納可以確定解題方向，明確解題思路;解題之後的歸納可以總結解題經驗。如通過對幾道求平均數應用題的分析(為思維定向)、解答，總結出數量關系:總數量÷份數＝平均數。第三類是用於指導解題的歸納猜想，即從問題出發，研究其特殊情形，通過假設、嘗試、推理，歸納出結論。如把一個邊長為a厘米的正方形框架，改成周長不變的長方形框架，面積比原來減少25平方厘米，那麼長方形的長比正方形的邊長長多少厘米?該題沒有告訴a的值，可假設a=10厘米，則S=100平方厘米，如果長方形的長比正方形邊長長1厘米，則長方形面積就是11x9=99(平方厘米)，比原面積少1平方厘米(1x1平方厘米);如果長方形的長比正方形的邊長長2厘米，則長方形面積為12x8=96(平方厘米)，比原面積減少4平方厘米(2x2平方厘米)。由此可以歸納出:如果面積減少25平方厘米(5x5平方厘米)，則長方形的長比正方形的邊長長5厘米。

八、讓小學生學會「對應思考法」

對應是人們對兩個集合元素之間的聯系的一種思想方法。小學數學一般是一一對應的直觀圖表，並以此孕伏函數思想。 如直線（數軸）上的點與表示具體大小的數的一一對應，又如分數應用題中一個具體數量與一個抽象分數（分率）的對應等。對應思想也是解答一般應用題的常見方法。對應是人的思維對兩個集合間問題聯系的把握，是現代數學的一個最基本的概念。小學數學教學中主要利用虛線、實線、箭頭、計數器等圖形將元素與元素、實物與實物、數與算式、量與量聯系起來，滲透對應思想。如一年級上冊教材中，分別將小兔和磚頭、小豬和木頭、小白兔和蘿卜、蘋果和梨一一對應後，進行多少的比較學習，向學生滲透了事物間的對應關系，為學生解決問題提供了思想方法。

九、讓小學生學會「函數思考法」

恩格斯說：「數學中的轉折點是笛卡兒的變數。有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了。」我們知道，運動、變化是客觀事物的本質屬性。函數思想的可貴之處正在於它是運動、變化的觀點去反映客觀事物數量間的相互聯系和內在規律的。學生對函數概念的理解有一個過程。在小學數學教學中，教師在處理一些問題時就要做到心中有函數思想，注意滲透函數思想。函數思想在人教版一年級上冊教材中就有滲透。如讓學生觀察《20以內進位加法表》，發現加數的變化引起的和的變化的規律等，都較好的滲透了函數的思想，其目的都在於幫助學生形成初步的函數概念。又如六年級正反比例也具有函數的思想方法。

十、讓小學生學會「統計思考法」

數據處理方法隨著現代化的發展進程，越來越深入到社會生活的各個領域。小學數學中的統計圖表是一些最基本的統計方法。求平均數應用題就是體現出數據處理的思想方法。數學課程標准在學習內容制訂中就十分強調要發展學生的統計觀念。北師大課改實驗教材一、二年級每一冊都專門安排了統計的學習內容。例如王欣前三次數學考試分別得90分、89分、94分，要使得四次考試平均分為93分，她第四次應考多少分？

菁菁校園成員真誠為您解答，希望採納。

Ⅷ 小學全部數學思想方法

符號思想

用符號化的語言（包括字母、數字、圖形和各種特定的符號）來描述數學的內容，這就是符號思想。符號思想是將所有的數據實例集為一體，把復雜的語言文字敘述用簡潔明了的字母公式表示出來，便於記憶，便於運用。把客觀存在的事物和現象及它們相互之間的關系抽象概括為數學符號和公式，有一個從具體到表象再抽象符號化的過程。

用符號來體現的數學語言是世界性語言，是一個人數學素養的綜合反映。

在數學中各種量的關系，量的變化以及量與量之間進行推導和演算，都是用小小的字母表示數，以符號的濃縮形式來表達大量的信息，如乘法分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c；又如在「有餘數的除法」教學中，最後出現一道思考題：「六一」聯歡會上，小明按照3個紅氣球、2個黃氣球、1個藍氣球的順序把氣球串起來裝飾教室。你能知道第24個氣球是什麼顏色的嗎？解決這個問題可以用書寫簡便的字母a、b、c分別表示紅、黃、藍氣球，則按照題意可以轉化成如下符號形式：aaabbc aaabbc aaabbc……從而可以直觀地找出氣球的排列規律並推出第24個氣球是藍色的。這是符號思想的具體體現。
化歸思想

化歸思想是數學中最普遍使用的一種思想方法，其基本思想是：把甲問題的求解，化歸為乙問題的求解，然後通過乙問題的解反向去獲得甲問題的解。一般是指不可逆向的「變換」。它的基本形式有：化難為易，化生為熟，化繁為簡，化整為零，化曲為直等。如求組合圖形的面積時先把組合圖形割補成學過的簡單圖形，然後計算出各部分面積的和或差，均能使學生體會化歸法的本質。
分解思想

分解思想就是先把原問題分解為若干便於解決的子問題，分解出若干便於求解的范圍，分解出若干便於層層推進的解題步驟，然後逐個加以解決並達到最後順利解決原問題的目的的一種思想方法。如在五年級《解決問題的策略》教學中「倒退著想」的解題策略就體現了這種思想。
轉換思想
轉換思想是一種解決數學問題的重要策略，是由一種形式變換成另一種形式的思想方法，這里的變換是可逆的雙向變換。在解決數學問題時,轉換是一種非常有用的策略。 對問題進行轉換時,既可轉換已知條件,也可轉換問題的結論;轉換可以是等價的,也可以是不等價的,用轉換思想來解決數學問題,轉換僅是第一步,第二步要對轉換後的問題進行求解,第三步要將轉換後問題的解答反演成問題的解答。如果採用等價關系作轉換,可直接求出解而省略反演這一步。

如計算：2.8÷113÷17÷0.7，直接計算比較麻煩，而分數的乘除運算比小數方便，故可將原問題轉換為：28/10×3/4×7/1×10/7，這樣，利用約分就能很快獲得本題的解
分類思想

分類思想方法不是數學獨有的方法，數學的分類思想方法體現對數學對象的分類及其分類的標准。如自然數的分類，若按能否被2整除分奇數和偶數；按因數的個數分素數和合數。又如三角形可以按邊分，也可以按角分。不同的分類標准就會有不同的分類結果，從而產生新的概念。對數學對象的正確、合理的分類取決於分類標準的正確、合理性，數學知識的分類有助於學生對知識的梳理和建構
歸納思想

數學歸納法是一種數學證明方法，典型地用於確定一個表達式在所有自然數范圍內是成立的或者用於確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。有一種用於數理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式，這就是著名的結構歸納法
類比思想

數學上的類比思想是指依據兩類數學對象的相似性，有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去的思想，它能夠解決一些表面上看似復雜困難的問題。類比思想不僅使數學知識容易理解，而且使公式的記憶變得順水推舟得自然和簡潔，從而可以激發起學生的創造力，正如數學家波利亞所說：「我們應該討論一般化和特殊化和類比的這些過程本身，它們是獲得發現的偉大源泉。」

如由加法交換律a＋b＝b＋a的學習遷移到乘法分配律a×b=b×a的學習

又如長方形的面積公式為長×寬＝a×b，通過類比，三角形的面積公式也可以理解為長（底）×寬（高）÷2＝a×b（h）÷2。類似的，圓柱體體積公式為底面積×高，那麼錐體的體積可以理解為底面積×高÷3
假設思想

假設思想是一種常用的推測性的數學思考方法.利用這種思想可以解一些填空題、判斷題和應用題.有些題目數量關系比較隱蔽，難以建立數量之間的聯系，或數量關系抽象，無從下手.可先對題目中的已知條件或問題作出某種假設，然後按照題中的已知條件進行推算，根據數量出現的矛盾，最後找到正確答案的一種思想方法。假設思想是一種有意義的想像思維，掌握之後可以使得要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。
比較思想

人類對一切事物的認識，都是建築在比較的基礎上，或同中辨異，或異中求同。俄國教育家烏申斯基說過：「比較是一切理解和一切思維的基礎。」小學生學習數學知識，也同樣需要通過對數學材料的比較，理解新知的本質意義，掌握知識間的聯系和區別。

在教學分數應用題中，教師要善於引導學生比較題中已知和未知數量變化前後的情況，可以幫助學生較快地找到解題的途徑。
極限思想

事物是從量變到質變，極限方法的實質正是通過量變的無限過程達到質變。

教學「圓的面積和周長」中，「化圓為方」「化曲為直」的極限分割思路，在觀察有限分割的基礎上想像它們的極限狀態，這樣不僅使學生掌握公式，還能從曲與直的矛盾轉化中萌發了無限逼近的極限思想。

戰國時代的《莊子·天下》篇中的「一尺之棰，日取其半，萬世不竭。」充滿了極限思想。古代傑出的數學家劉徽的「割圓術」就是利用極限思想來求得圓的周長的，他首先作圓內接正多邊形，當多邊形的邊數越多時，多邊形的周長就越接近於圓的周長。劉徽總結出：「割之彌細，所失彌少。割之又割以至於不可割，則與圓合體無所失矣。」正是用這種極限的思想，劉徽求出了π，即「徽率」。

現行小學教材中有許多處注意了極限思想的滲透:在「自然數」、「奇數」、「偶數」這些概念教學時，教師可讓學生體會自然數是數不完的，奇數、偶數的個數有無限多個，讓學生初步體會「無限」思想。在循環小數這一部分內容，在教學 1 ÷ 3 = 0。333…是一循環小數，它的小數點後面的數字是寫不完的，是無限的。在直線、射線、平行線的教學時，可讓學生體會線的兩端是可以無限延長的。
演繹思想：

演繹也是理智的活動，但是和直觀不同，它們不是理智的單純活動，必須先假定了某些真理（或定義)之後，然後再憑借這些定義推出一些結論。譬如：我們知道了三角形的定義和定理之後，可以推出一個三角形內角的總和等於兩直角之和。所以直觀的功用是在於提供科學和哲學的最新原則。而演繹則是應用這些原則來建立一些定理和命題。演繹並不要求像直觀所擁有的那種直接呈現出來的證明，它的確實性在某種程度上寧可說是記憶賦予它的。它通過一系列的間接論證就能得出結論，這就像我們握著一根長鏈條的第一節就可以認識它的最後一節一樣。

這就是說，直觀是發明的基本原則，演繹是導致最基本的結論。不過也有哲學家認為演繹是有缺陷的，因為由同一個 原則往往會演繹出不同的結論，所以應當有另一個方法來糾正它。這個糾正的方法就是經驗，即所謂的訴諸事實。總之，直觀就是找到最簡單、最無可懷疑、最無須辯護的人類知識元素，即發現最簡單和最可靠的觀念或原理。然後對它們進行演繹推理，導出全部確實可靠的解決方案。

例如數學定理證明就是一種演繹推理
模型思想

是指對於現實世界的某一特定對象，從它特定的生活原型出發，充分運用觀察、實驗、操作、比較、分析綜合概括等所謂過程，得到簡化和假設，它是生活中實際問題轉化為數學問題模型的一種思想方法。

培養學生用數學的眼光認識和處理周圍事物或數學問題乃數學的最高境界，也是學生高數學素養所追求的目標。

數學模型方法不僅是處理純數學問題的一種經典方法，而且也是處理自然科學、社會科學、工程技術和社會生產中各種實際問題的一般數學方法。用數學方法解決某些實際問題，通常先把實際問題抽象成數學模型。所謂數學模型，是指從整體上描述現實原型的特性、關系及規律的一種數學方程式。按廣義的解釋，從一切數學概念、數學理論體系、各種數學公式、各種數學方程以及由公式系列構成的演算法系統都稱之為模型 。但按狹義的解釋，只有那些反應特定問題或特定的具體事物系統的數學關系結構，才叫數學模型。比如根據具體問題中的數量關系，建立數學模型，列出方程進行求解。
對應思想:

對應指的是一個系統中的某一項在性質、作用、位置上跟另一系統中的某一項相當。對應思想可理解為兩個集合元素之間的聯系的一種思想方法。在小學數學教學中滲透對應思想，有助於提高學生分析問題和解決問題的能力。

「對應」的思想由來已久，比如我們將一支鉛筆、一本書、一棟房子對應一個抽象的數「1」，將兩隻眼睛、一對耳環、雙胞胎對應一個抽象的數「2」；隨著學習的深入，我們還將「對應」擴展到對應一種形式，對應一種關系，等等。

再如：數軸上的點與實數之間的一一對應，函數與其圖象之間的對應.另外,在「多和少」這一課中, 一個茶杯蓋與每一個茶杯對應，直觀看到「茶杯與茶杯蓋相比，一個對一個，一個也不多，一個也不少」，我們就說茶杯與茶杯蓋同樣多。使學生初步接觸一一對應的思想，初步感知兩個集合的各元素之間能一一對應，它們的數量就是「同樣多」. 「對應」的思想在今後的學習中將會發揮越來越大的作用。
集合思想:

把若干確定的有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合並起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素.通俗地說就是:把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合

集合思想的特徵:

（1）確定性：給定一個集合，任何對象是不是這個集合的元素是確定的了. 就是說按照明確的判斷標准給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模稜兩可

（2）互異性：集合中的元素一定是不同的. 即集合中的元素沒有重復

（3）無序性：集合中的元素沒有固定的順序.

根據集合所含元素個屬不同，可把集合分為如下幾類：

（1）把不含任何元素的集合叫做空集。

（2）含有有限個元素的集合叫做有限集。

（3）含有無窮個元素的集合叫做無限集。

集合的表現形式：列舉法；框圖法；描述法。

比如:能被2整除的數為一個集合.
數形結合思想：

就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數含義又揭示其幾何意義，使問題的數量關系和空間形式巧妙、和諧地結合起來，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想。其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。數形結合的思想，包含「以形助數」和「以數輔形」兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是藉助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系,如四年級數學下冊P60分數的基本性質就是藉助圖形的生動和直觀來闡明分數中分子和分母相互變化的關系；或者是藉助於數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性。

在小學教學中，它主要表現在把抽象的數量關系，轉化為適當的幾何圖形，從圖開的直觀特徵發現數量之間存在的聯系，以達到化難來易、化繁為簡、化隱為顯的目的，使問題簡捷地得以解決。通常是將數量關系轉化為線段圖，這是基本的、自然的手段。如一年級認數時數軸與對應點之間的關系.

對於某些題，如線段圖不能清晰地顯示其數量關系，則可以通過對線段圖的分析、改造、設計、構造出能清晰顯示其數量關系的幾何圖形。如六年級數學下冊P72試一試,計算:1/2+1/4+1/8+1/16,可以通過正方形圖形來解決.

在數學教學中，由數想形，以形助數的數形結合思想，具有可以使問題直觀呈現的優點，有利於加深學生對知識的識記和理解；在解答數學題時，數形結合，有利於學生分析題中數量之間的關系，豐富表象，引發聯想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力。抓住數形結合思想教學，不僅能夠提高學生數形轉化能力，還可以提高學生遷移思維能力。
統計思想

在小學數學中增加統計與概率課程的意義在於形成合理解讀數據的能力、提高科學認識客觀世界的能力、發展在現實情境中解決實際問題的能力。統計與概率初步知識的構成主要有如下一些基本內容：第一，知道數據在描述、分析、預測以及解決一些日常生活中的現象與問題的價值；第二，學會一些簡單的數據收集、整理、分析、處理和利用的基本的能力；第三，會解讀和製作一些簡單的統計圖表；第四，認識一些隨機現象，並能運用適當的方法來預測這些隨機現象發生的可能性。
系統思想

系統思想是由若干想到關聯、想到作用的要素（或成分）構成具有特定功能的有機整體。系統思想的方法便是要求人們從系統要素相互關系的觀點，從系統與要素之間、要素與要素之間，以及系統與外部環境之間的相互關聯和相互作用中考察對象，以得出研究和解決問題的最佳方案。

系統是由相互聯系，相互依賴，相互制約和相互作用的若幹事物和過程所組成的一個具有整體功能和綜合行為的統一體；要素是構成系統的基本單位，系統內各要素之間是相互聯系，相互影響的有機整體，如果一個要素發生變化，其他要素也會相應變化。

例如：應用題教學中的「購物問題」。物品的「單價」、「數量」和「總價」這三個要素就組成了一個系統。數量不變，單價提高，總價變大；單價不變，數量增加，總價變大；單價不變，總價增加，數量變多。「單價、數量、總價」這三個要素之間具有下列關系：

單價×數量=總價；總價÷單價=數量；總價÷數量= 單價

把幾個概念通過聯系來整體把握，由具體到抽象，再由抽象到具體，發現其規律，更好地理解和掌握概念及其相互關系。這些要素不是孤立的、零散的，而是有聯系的，有影響的，在教學過程中要引導學生學會理解概念，找到聯系，發現規律，只有這樣才能更好地掌握所學知識，做到融會貫通，事半功倍。
三、幾點說明

中國數學科學方法論研究交流中心主任周春荔教授在其習作中說：

習慣上人們常用數學思想來指稱某些具有重要意義、內容比較豐富、體系相當完整的數學成果。

數學思想和數學方法到底有什麼區別？一般來說，數學思想是人們對數學內容的本質認識，是對數學知識和數學方法的進一步抽象和概括，屬於對數學規律的理性認識的范疇，而數學方法則是解決數學問題的手段，具有「行為規則」的意義和一定的可操作性，同一個數學成果，當用它去解決別的問題時，就稱之為方法；當論及它在數學體系中的價值和意義時，則稱之為思想。

要將數學思想和數學方法嚴格區分開來是困難的，因此，人們常常對這兩者不加區分，而統稱為數學思想方法，這樣會顯得更為方便。