㈠ 小學全部數學思想方法
符號思想
用符號化的語言（包括字母、數字、圖形和各種特定的符號）來描述數學的內容，這就是符號思想。符號思想是將所有的數據實例集為一體，把復雜的語言文字敘述用簡潔明了的字母公式表示出來，便於記憶，便於運用。把客觀存在的事物和現象及它們相互之間的關系抽象概括為數學符號和公式，有一個從具體到表象再抽象符號化的過程。
用符號來體現的數學語言是世界性語言，是一個人數學素養的綜合反映。
在數學中各種量的關系，量的變化以及量與量之間進行推導和演算，都是用小小的字母表示數，以符號的濃縮形式來表達大量的信息，如乘法分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c；又如在「有餘數的除法」教學中，最後出現一道思考題：「六一」聯歡會上，小明按照3個紅氣球、2個黃氣球、1個藍氣球的順序把氣球串起來裝飾教室。你能知道第24個氣球是什麼顏色的嗎？解決這個問題可以用書寫簡便的字母a、b、c分別表示紅、黃、藍氣球，則按照題意可以轉化成如下符號形式：aaabbc aaabbc aaabbc……從而可以直觀地找出氣球的排列規律並推出第24個氣球是藍色的。這是符號思想的具體體現。
化歸思想
化歸思想是數學中最普遍使用的一種思想方法，其基本思想是：把甲問題的求解，化歸為乙問題的求解，然後通過乙問題的解反向去獲得甲問題的解。一般是指不可逆向的「變換」。它的基本形式有：化難為易，化生為熟，化繁為簡，化整為零，化曲為直等。如求組合圖形的面積時先把組合圖形割補成學過的簡單圖形，然後計算出各部分面積的和或差，均能使學生體會化歸法的本質。
分解思想
分解思想就是先把原問題分解為若干便於解決的子問題，分解出若干便於求解的范圍，分解出若干便於層層推進的解題步驟，然後逐個加以解決並達到最後順利解決原問題的目的的一種思想方法。如在五年級《解決問題的策略》教學中「倒退著想」的解題策略就體現了這種思想。
轉換思想
轉換思想是一種解決數學問題的重要策略，是由一種形式變換成另一種形式的思想方法，這里的變換是可逆的雙向變換。在解決數學問題時,轉換是一種非常有用的策略。 對問題進行轉換時,既可轉換已知條件,也可轉換問題的結論;轉換可以是等價的,也可以是不等價的,用轉換思想來解決數學問題,轉換僅是第一步,第二步要對轉換後的問題進行求解,第三步要將轉換後問題的解答反演成問題的解答。如果採用等價關系作轉換,可直接求出解而省略反演這一步。
如計算：2.8÷113÷17÷0.7，直接計算比較麻煩，而分數的乘除運算比小數方便，故可將原問題轉換為：28/10×3/4×7/1×10/7，這樣，利用約分就能很快獲得本題的解
分類思想
分類思想方法不是數學獨有的方法，數學的分類思想方法體現對數學對象的分類及其分類的標准。如自然數的分類，若按能否被2整除分奇數和偶數；按因數的個數分素數和合數。又如三角形可以按邊分，也可以按角分。不同的分類標准就會有不同的分類結果，從而產生新的概念。對數學對象的正確、合理的分類取決於分類標準的正確、合理性，數學知識的分類有助於學生對知識的梳理和建構
歸納思想
數學歸納法是一種數學證明方法，典型地用於確定一個表達式在所有自然數范圍內是成立的或者用於確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。有一種用於數理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式，這就是著名的結構歸納法
類比思想
數學上的類比思想是指依據兩類數學對象的相似性，有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去的思想，它能夠解決一些表面上看似復雜困難的問題。類比思想不僅使數學知識容易理解，而且使公式的記憶變得順水推舟得自然和簡潔，從而可以激發起學生的創造力，正如數學家波利亞所說：「我們應該討論一般化和特殊化和類比的這些過程本身，它們是獲得發現的偉大源泉。」
如由加法交換律a＋b＝b＋a的學習遷移到乘法分配律a×b=b×a的學習
又如長方形的面積公式為長×寬＝a×b，通過類比，三角形的面積公式也可以理解為長（底）×寬（高）÷2＝a×b（h）÷2。類似的，圓柱體體積公式為底面積×高，那麼錐體的體積可以理解為底面積×高÷3
假設思想
假設思想是一種常用的推測性的數學思考方法.利用這種思想可以解一些填空題、判斷題和應用題.有些題目數量關系比較隱蔽，難以建立數量之間的聯系，或數量關系抽象，無從下手.可先對題目中的已知條件或問題作出某種假設，然後按照題中的已知條件進行推算，根據數量出現的矛盾，最後找到正確答案的一種思想方法。假設思想是一種有意義的想像思維，掌握之後可以使得要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。
比較思想
人類對一切事物的認識，都是建築在比較的基礎上，或同中辨異，或異中求同。俄國教育家烏申斯基說過：「比較是一切理解和一切思維的基礎。」小學生學習數學知識，也同樣需要通過對數學材料的比較，理解新知的本質意義，掌握知識間的聯系和區別。
在教學分數應用題中，教師要善於引導學生比較題中已知和未知數量變化前後的情況，可以幫助學生較快地找到解題的途徑。
極限思想
事物是從量變到質變，極限方法的實質正是通過量變的無限過程達到質變。
教學「圓的面積和周長」中，「化圓為方」「化曲為直」的極限分割思路，在觀察有限分割的基礎上想像它們的極限狀態，這樣不僅使學生掌握公式，還能從曲與直的矛盾轉化中萌發了無限逼近的極限思想。
戰國時代的《莊子·天下》篇中的「一尺之棰，日取其半，萬世不竭。」充滿了極限思想。古代傑出的數學家劉徽的「割圓術」就是利用極限思想來求得圓的周長的，他首先作圓內接正多邊形，當多邊形的邊數越多時，多邊形的周長就越接近於圓的周長。劉徽總結出：「割之彌細，所失彌少。割之又割以至於不可割，則與圓合體無所失矣。」正是用這種極限的思想，劉徽求出了π，即「徽率」。
現行小學教材中有許多處注意了極限思想的滲透:在「自然數」、「奇數」、「偶數」這些概念教學時，教師可讓學生體會自然數是數不完的，奇數、偶數的個數有無限多個，讓學生初步體會「無限」思想。在循環小數這一部分內容，在教學 1 ÷ 3 = 0。333…是一循環小數，它的小數點後面的數字是寫不完的，是無限的。在直線、射線、平行線的教學時，可讓學生體會線的兩端是可以無限延長的。
演繹思想：
演繹也是理智的活動，但是和直觀不同，它們不是理智的單純活動，必須先假定了某些真理（或定義)之後，然後再憑借這些定義推出一些結論。譬如：我們知道了三角形的定義和定理之後，可以推出一個三角形內角的總和等於兩直角之和。所以直觀的功用是在於提供科學和哲學的最新原則。而演繹則是應用這些原則來建立一些定理和命題。演繹並不要求像直觀所擁有的那種直接呈現出來的證明，它的確實性在某種程度上寧可說是記憶賦予它的。它通過一系列的間接論證就能得出結論，這就像我們握著一根長鏈條的第一節就可以認識它的最後一節一樣。
這就是說，直觀是發明的基本原則，演繹是導致最基本的結論。不過也有哲學家認為演繹是有缺陷的，因為由同一個 原則往往會演繹出不同的結論，所以應當有另一個方法來糾正它。這個糾正的方法就是經驗，即所謂的訴諸事實。總之，直觀就是找到最簡單、最無可懷疑、最無須辯護的人類知識元素，即發現最簡單和最可靠的觀念或原理。然後對它們進行演繹推理，導出全部確實可靠的解決方案。
例如數學定理證明就是一種演繹推理
模型思想
是指對於現實世界的某一特定對象，從它特定的生活原型出發，充分運用觀察、實驗、操作、比較、分析綜合概括等所謂過程，得到簡化和假設，它是生活中實際問題轉化為數學問題模型的一種思想方法。
培養學生用數學的眼光認識和處理周圍事物或數學問題乃數學的最高境界，也是學生高數學素養所追求的目標。
數學模型方法不僅是處理純數學問題的一種經典方法，而且也是處理自然科學、社會科學、工程技術和社會生產中各種實際問題的一般數學方法。用數學方法解決某些實際問題，通常先把實際問題抽象成數學模型。所謂數學模型，是指從整體上描述現實原型的特性、關系及規律的一種數學方程式。按廣義的解釋，從一切數學概念、數學理論體系、各種數學公式、各種數學方程以及由公式系列構成的演算法系統都稱之為模型 。但按狹義的解釋，只有那些反應特定問題或特定的具體事物系統的數學關系結構，才叫數學模型。比如根據具體問題中的數量關系，建立數學模型，列出方程進行求解。
對應思想:
對應指的是一個系統中的某一項在性質、作用、位置上跟另一系統中的某一項相當。對應思想可理解為兩個集合元素之間的聯系的一種思想方法。在小學數學教學中滲透對應思想，有助於提高學生分析問題和解決問題的能力。
「對應」的思想由來已久，比如我們將一支鉛筆、一本書、一棟房子對應一個抽象的數「1」，將兩隻眼睛、一對耳環、雙胞胎對應一個抽象的數「2」；隨著學習的深入，我們還將「對應」擴展到對應一種形式，對應一種關系，等等。
再如：數軸上的點與實數之間的一一對應，函數與其圖象之間的對應.另外,在「多和少」這一課中, 一個茶杯蓋與每一個茶杯對應，直觀看到「茶杯與茶杯蓋相比，一個對一個，一個也不多，一個也不少」，我們就說茶杯與茶杯蓋同樣多。使學生初步接觸一一對應的思想，初步感知兩個集合的各元素之間能一一對應，它們的數量就是「同樣多」. 「對應」的思想在今後的學習中將會發揮越來越大的作用。
集合思想:
把若干確定的有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合並起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素.通俗地說就是:把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合
集合思想的特徵:
（1）確定性：給定一個集合，任何對象是不是這個集合的元素是確定的了. 就是說按照明確的判斷標准給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模稜兩可
（2）互異性：集合中的元素一定是不同的. 即集合中的元素沒有重復
（3）無序性：集合中的元素沒有固定的順序.
根據集合所含元素個屬不同，可把集合分為如下幾類：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集。
（2）含有有限個元素的集合叫做有限集。
（3）含有無窮個元素的集合叫做無限集。
集合的表現形式：列舉法；框圖法；描述法。
比如:能被2整除的數為一個集合.
數形結合思想：
就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數含義又揭示其幾何意義，使問題的數量關系和空間形式巧妙、和諧地結合起來，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想。其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。數形結合的思想，包含「以形助數」和「以數輔形」兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是藉助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系,如四年級數學下冊P60分數的基本性質就是藉助圖形的生動和直觀來闡明分數中分子和分母相互變化的關系；或者是藉助於數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性。
在小學教學中，它主要表現在把抽象的數量關系，轉化為適當的幾何圖形，從圖開的直觀特徵發現數量之間存在的聯系，以達到化難來易、化繁為簡、化隱為顯的目的，使問題簡捷地得以解決。通常是將數量關系轉化為線段圖，這是基本的、自然的手段。如一年級認數時數軸與對應點之間的關系.
對於某些題，如線段圖不能清晰地顯示其數量關系，則可以通過對線段圖的分析、改造、設計、構造出能清晰顯示其數量關系的幾何圖形。如六年級數學下冊P72試一試,計算:1/2+1/4+1/8+1/16,可以通過正方形圖形來解決.
在數學教學中，由數想形，以形助數的數形結合思想，具有可以使問題直觀呈現的優點，有利於加深學生對知識的識記和理解；在解答數學題時，數形結合，有利於學生分析題中數量之間的關系，豐富表象，引發聯想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力。抓住數形結合思想教學，不僅能夠提高學生數形轉化能力，還可以提高學生遷移思維能力。
統計思想
在小學數學中增加統計與概率課程的意義在於形成合理解讀數據的能力、提高科學認識客觀世界的能力、發展在現實情境中解決實際問題的能力。統計與概率初步知識的構成主要有如下一些基本內容：第一，知道數據在描述、分析、預測以及解決一些日常生活中的現象與問題的價值；第二，學會一些簡單的數據收集、整理、分析、處理和利用的基本的能力；第三，會解讀和製作一些簡單的統計圖表；第四，認識一些隨機現象，並能運用適當的方法來預測這些隨機現象發生的可能性。
系統思想
系統思想是由若干想到關聯、想到作用的要素（或成分）構成具有特定功能的有機整體。系統思想的方法便是要求人們從系統要素相互關系的觀點，從系統與要素之間、要素與要素之間，以及系統與外部環境之間的相互關聯和相互作用中考察對象，以得出研究和解決問題的最佳方案。
系統是由相互聯系，相互依賴，相互制約和相互作用的若幹事物和過程所組成的一個具有整體功能和綜合行為的統一體；要素是構成系統的基本單位，系統內各要素之間是相互聯系，相互影響的有機整體，如果一個要素發生變化，其他要素也會相應變化。
例如：應用題教學中的「購物問題」。物品的「單價」、「數量」和「總價」這三個要素就組成了一個系統。數量不變，單價提高，總價變大；單價不變，數量增加，總價變大；單價不變，總價增加，數量變多。「單價、數量、總價」這三個要素之間具有下列關系：
單價×數量=總價；總價÷單價=數量；總價÷數量= 單價
把幾個概念通過聯系來整體把握，由具體到抽象，再由抽象到具體，發現其規律，更好地理解和掌握概念及其相互關系。這些要素不是孤立的、零散的，而是有聯系的，有影響的，在教學過程中要引導學生學會理解概念，找到聯系，發現規律，只有這樣才能更好地掌握所學知識，做到融會貫通，事半功倍。
三、幾點說明
中國數學科學方法論研究交流中心主任周春荔教授在其習作中說：
習慣上人們常用數學思想來指稱某些具有重要意義、內容比較豐富、體系相當完整的數學成果。
數學思想和數學方法到底有什麼區別？一般來說，數學思想是人們對數學內容的本質認識，是對數學知識和數學方法的進一步抽象和概括，屬於對數學規律的理性認識的范疇，而數學方法則是解決數學問題的手段，具有「行為規則」的意義和一定的可操作性，同一個數學成果，當用它去解決別的問題時，就稱之為方法；當論及它在數學體系中的價值和意義時，則稱之為思想。
要將數學思想和數學方法嚴格區分開來是困難的，因此，人們常常對這兩者不加區分，而統稱為數學思想方法，這樣會顯得更為方便。
㈡ 什麼是數學中的集合思想
集合思想包括概念、子集思想、交集思想、並集思想、差集思想、空集思想、一一對版應思想等。
集合是近代數學中權的一個重要概念。集合思想是現代數學思想向小學數學滲透的重要標志，在解決某些數學問題時，若是運用集合思想，可以使問題解決得更簡單明了。集合論的創始人是德國的數學家康托（1845——1918），其主要思想方法可歸結為三個原則，即概括原則、外延原則、一一對應原則。自集合論創立以來，它的概念、思想和方法已經滲透到現代數學的各個分支中，成為現代數學的基礎。瑞士數學家歐拉（1707——1787）最早使用了表示兩個非空集之間的關系的圖，現稱歐拉圖。英國數學家維恩最早使用了另一種圖即可以用於表示任意的幾個集合（不論它們之間的關系如何，都可以畫成同一樣式），又稱「維恩圖」，用維恩圖表示集合，有助於探索某些數學題的解決思路。
㈢ 淺談小學數學如何滲透數學思想
一、「符號思想」的滲透。
「符號思想」是數學的基本思想。數學作為一種學科語言，是描述世界的工具，而符號能使數學研究對象更加具體、形象，能夠簡明地表示出事物的本質特徵與規律。符號的使用在很大程度上決定著數學的進展情況，同時它具有培養人們高度抽象思維的能力。比如：小學數學書中的「簡易方程」這一部分內容向學生提出用字母表示數，它的實質是一種抽象化。其目的是為了更深刻地探索、揭示數學規律，達到更准確、更簡潔地表達數學規律，在較大范圍內肯定數學規律的正確性。加法的交換律用a+b=b+a，圓面積用S=πr2表示等等。此外,用方程解法來解答應用題，解法的本身也蘊含著符號思想，它主要體現在如下幾個方面：（1）代數假設，用字母代替未知數，與已知數平等地參與運算；（2）代數翻譯，把題中自然語言表述的已知條件，譯成用符號化語言表述的方程。（3）解代數方程。把字母看成已知數，並進行四則運算，進而達到求解的目的。
可見，數學符號是貫穿於數學全部的支柱，數學符號凝結了特有的簡潔性、抽象性和概括性，所以相對來說難以掌握和使用。作為數學教師，深入了解數學符號的思想，研究數學符號的教學，對促進數學教學、提高其教學質量具有重要意義。
二、「化歸思想」的滲透。
「化歸思想」，也稱「轉化思想」，它是小學數學中最關鍵的數學思想之一，它往往根據學生已有的經驗,通過觀察、推想、類比等手段，把一個實際問題通過某種轉化,歸結為一個數學問題，把一個較復雜的問題轉化、歸結為一個較簡單的問題,直至轉化為已經解決或容易解決的問題。其基本形式有化生為熟、化難為易、化繁為簡、化整為零、化未知為已知、化一般為特殊、化抽象為具體等。給學生滲透這種思想，有利於提高學生的邏輯思維能力。
比如：在教學平面圖形的面積計算中，就以化歸思想、轉化思想等為理論依據，實現長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓形的面積計算公式間的同化和順應，從而構建和完善了學生對面積計算的認知結構。小數除法通過「商不變性質」化歸為除數是整數的除法；異分母分數加減法化歸為同分母分數加減法；異分母分數比較大小通過「通分」化歸為同分母分數比較大小等等。這些知識的學習都滲透著化歸思想。
三、「數形結合」思想的滲透。
「數形結合」，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，「數形結合」的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助於把握數學問題的本質。在小學教學中，它主要表現在把抽象的數量關系，轉化為適當的幾何圖形，從直觀圖形的特徵到發現數量之間存在的聯系，以達到化抽象為具體、化隱為顯的目的，使問題簡單、快捷地得以解決。
它可以藉助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖，促進學生形象思維和抽象思維的協調發展，溝通數學知識之間的聯系，從復雜的數量關系中凸顯最本質的特徵。例如，我們常用畫線段圖的方法來解答應用題，這是用圖形來代替數量關系的一種方法。我們又可以通過代數方法來研究幾何圖形的周長、面積、體積等，這些都體現了「數形結合」的思想。
四、「極限思想」的滲透
「極限思想」是一種重要的數學思想方法。靈活的藉助極限思想，可以使某些數學問題化難為易，避免一些復雜運算，探究出解題方向或轉化途徑。在進行「圓的面積計算公式」和「圓柱的體積計算公式」的推導過程中，均採用「化圓為方」、「變曲為直」極限分割思路。在「觀察有限分割」的基礎上，「想像無限細分」，根據圖形分割拼合的變化趨勢，想像它們的終極狀態。這樣不僅使學生掌握了圓的面積和圓柱體的體積的計算公式，而且非常自然地在「曲」與「直」的矛盾轉化中萌發了無限逼近的「極限思想」。
此外，現行小學教材中有許多處注意了極限思想的滲透。 在「自然數」、「奇數」、「偶數」這些概念教學時，教師可讓學生體會自然數是數不完的，奇數、偶數的個數有無限多個，讓學生初步體會「無限」思想；在循環小數這一部分內容中，1 ÷ 3 = 0.33…是一循環小數，它的小數點後面的數字是寫不完的，是無限的，而0.99……的極限就等於1；在直線、射線、平行線的教學時，可讓學生體會線的兩端是可以無限延長的。
五、「集合思想」的滲透。
四邊形
「集合思想」 是人類早期就有的思想方法，它將一組相關聯的對象放在一起，作為討論的范圍，繼而把一定程度上抽象的思維對象，有條理的列舉出來，讓人一目瞭然。例如：教學平行四邊形、長方形、正方形之後，使學生明確長方形是一種特殊的平行四邊形，正方形是一種特殊的長方形，用右圖來表示更形象。為加深學生對這集合圖的理解，再舉例說明：我們全校同學好比這個最大的圈，我們年級同學是全校的一部分，我們班的同學又是全年級的一部分，第一小組的同學是全班的一小部分，也就是裡面的最小一個小圈。要讓學生真正理解集合圖的含義，並學會應用。集合的數學思想方法在小學1～6年級各階段都有滲透。如數的整除中就滲透了子集和交集等數學思想。集合思想可使數學與邏輯更趨於統一，從而有利於數學理論與應用的研究。利用集合思想解決問題，可以防止在分類過程中出現重復和遺漏，使抽象的數學問題具體化。
㈣ 舉例說明在小學數學教學中如何滲透集合的概念
在小學數學教學中如何滲透集合思想的幾點做法
集合是近代數學中的一個重要概念。集合思想是現代數學思想向小學數學滲透的重要標志，在解決某些數學問題時，若是運用集合思想，可以使問題解決得更簡單明了。集合論的創始人是德國的數學家康托（1845——1918），其主要思想方法可歸結為三個原則，即概括原則、外延原則、一一對應原則。自集合論創立以來，它的概念、思想和方法已經滲透到現代數學的各個分支中，成為現代數學的基礎。瑞士數學家歐拉（1707——1787）最早使用了表示兩個非空集之間的關系的圖，現稱歐拉圖。英國數學家維恩最早使用了另一種圖即可以用於表示任意的幾個集合（不論它們之間的關系如何，都可以畫成同一樣式），又稱「維恩圖」，用維恩圖表示集合，有助於探索某些數學題的解決思路。
布魯納曾說，掌握基本的數學思想方法能使數學更易於理解和記憶，領會基本數學思想方法是通向遷移大道的「光明之路」。數學思想方法不但對學生學習具有普遍的指導意義，而且有利於學生形成科學的思維方式和思維習慣。
集合思想包括概念、子集思想、交集思想、並集思想、差集思想、空集思想、一一對應思想等，作為數學思想方法的一種，在教學中是具有很大的指導意義的。那麼，在小學數學教學中我們應該如何應用集合思想進行教學活動呢?
一、集合概念在小學數學教學中的應用
集合思想的概念在教學中是不必向學生作解釋的，教師主要指導學生看懂集合圖的意思，會根據集合圖來解題或者幫助解題。圖形本身直觀地應用了集合的表示方法——圖示法，因此在小學低年級中運用這個方法對於教學是很有幫助的。
在認數教學中，教師要結合各種集合圖，可以是選用書本上的，也可以是選用一些生活中常見的事物自己畫。同時還可以反過來給學生一個數字，讓學生畫集合圖，這樣既可以讓學生開動腦筋發揮自己的想像，也可以讓學生更了解集合中的元素與基數概念的聯系。
在日常教學中，教師還要讓學生理解一些用來描述集合的常用術語，如「一些」、「一堆」、「一組」、「一群」等。比如說，在小學數學教材北師大版一年級（上冊）的第四單元分類中，就出現了這么一張圖，讓學生觀察，要求把玩具放一堆，文具放一堆,服裝鞋帽放一堆,這種把具有同一種屬性的東西放在一起，這就是集合的整體概念。
在認識0-10的十一個數字中，每個數字都有一張相應的集合圖，也就是告訴學生，一個集合中有幾個元素就用「幾」來表示。如北師大版一年級（上冊）第4頁找一找的活動中「1」可以表示圖里的一座房子；「2」可以表示圖里的兩個人。這就很形象的把集合中的元素與基數的概念有機的聯系起來。
二、子集、交集、並集、差集、空集思想在小學數學教學中的應用
1、子集思想在小學數學教學中的應用
教學數的大小這一問題時，就可以應用子集思想。如北師大版二年級(下冊)第36頁試一試中,給出一些數，組成一個數的集合，元素有387、99、809、 345、1725、4300等。同時給出要求，先把給出的數分類，再比較大小。這把數分類就相當於是把整個數的集合中的元素，按要求分別把他們放入三個子集合中。（如下圖） 對於這類問題，應用集合思想就能讓學生非常直觀、容易地理解。
2、 交集思想在小學數學教學中的應用
如有這么一道應用題：一個班有48人。班主任在班會上問：「誰做完了數學作業？」這時有42人舉手。又問：「誰做完了語文作業？」這時有37人舉手。最後又問：「誰語文、數學作業都沒有做完？」沒有人舉手。請問：這個班語文、數學作業都做完的有幾人？
一看這道題就會想到要用維恩圖來算比較簡單。畫一個長方形表示全集，完成語文作業的學生集合（A），完成數學作業的學生集合（B），A、B有相交部分
因為A內的兩部分表示人數和就是完成語文作業的人數（37人），所以A外、B內的那部分表示的人數為48-37=11（人），者是 完成了數學作業但沒有完成語文作業的人數。因此，語文、數學兩種作業都完成了的人數是42-11=31人。
教學公約數、公倍數這一內容時，也通常應用交集思想，如 ：
12的約數 18的約數
3、並集思想在小學數學教學中的應用
在小學一年級的教材中，並集被用於說明加法的意義，如北師大版一年級（上冊）第22頁解決「有幾只鉛筆」這個問題，一幅圖中小朋友左手裡拿了兩只鉛筆，右手裡拿了三隻鉛筆，另一幅中小朋友把兩只手合在一起，就是把左手和右手中的鉛筆並在一起。2＋3＝5（只）
還有北師大版一年級(上冊)第68頁11～20各數的認識中，對於「11」,先把10根小棒捆成一捆，組成十位上的「1」，然後再數1根組成「11」了。同理在教學12、13、14、15等數時，也都應該採用並集思想。
又如，北師大版一年級(上冊)第72頁:9＋5＝? 教材中顯示把5根小棒分成1根和4根,把1根和9根結合在一起，組成十根捆在一起，作為十位上的「1」，這也運用了並集思想。
4、差集思想在小學數學教學中的應用
在小學一年級的教材中，差集被用於說明減法的意義。如北師大版一年級（上冊）第26頁「摘果子」樹上原有5個蘋果，被小朋友摘走2個，就剩下樹上（集合）的3個蘋果（元素）：5－2＝3（個）
又比如說還是本頁的「做一做」：圖中總共有5個圓圈，其中4個圓圈用線劃去，表示去掉的，就剩下5－4＝1（個）了。在教材中一般用線劃去或虛線圈起來的都是要剪掉的部分.
5、空集思想在小學數學教學中的應用
空集表示這個集合沒有元素。空集思想的應用主要出現在教學「0」的時候，如北師大版一年集（上冊）第8頁「小貓釣魚」，每隻小貓的袋子表示集合，袋子里的魚表示元素。第一幅圖里，袋子里有三條魚，該集合里有3個元素；第二幅圖里，袋子里有兩條魚，該集合里有2個元素；第三幅圖里，袋子里有一條魚，該集合里有1個元素；第四幅圖里，袋子沒有魚，該集合中沒有元素，也就是空集。
三、一一對應思想在小學數學教學中的應用
一一對應思想在教材中體現的較多，在比較兩個集合所包含的元素的多少時就一定得用建立一一對應關系的方法來解決，同時，「一一對應」思想也是現代函數思想的基礎。一一對應思想在小學數學教材中主要以兩種形式呈現：第一種是比多少，第二種是由一個集合經過對應法則得到另一個集合。
在教學比多少時，教師首先要把集合中的元素一一的排列起來。如北師大版一年級（上冊）第43頁：
比 多
比 少
在教學第二種情況，一個集合經過對應法則得到另一個集合時，教師要向學生解釋清楚對應法則是對已給出的集合中的每一個元素都起作用的。
如人教版三年級（下冊）第23頁
這類算式與算式的配對，也正是一一對應思想的應用。
數學教育學家波利亞說過：「數學教師的首要責任是盡其一切可能，來發展學生解決問題的能力。」教師在問題探索的教學中不能就題論題，授之以「漁」遠比授之以「魚」來的重要。這個「漁」就是指隱含於數學問題探索中的數學思想方法。學生只有逐步形成用數學思想方法指導思維活動，才會在遇到其它問題時胸有成竹，從容對待。新課標也指出：結合有關知識的教學，適當的滲透集合、函數等數學思想方法，以加深對基礎知識的理解。作為數學教師，在教學中應當大膽地應用集合思想，讓學生在學習中獲得對集合思想的感性認識，並逐步形成運用集合思想的觀念。
㈤ 如何給小學生傳授集合思想
我國中小學數學教育一直進行著改革，改革的方法是「滲透、增加、刪除」的六字方針，實現數學教育的現代化一直是數學教學改革的目標，在符合現代兒童實際和接受能力的基礎上，盡早地在兒童的頭腦中滲透部分現代數學的某些思想，應該是我們小學數學教師的一項重要任務。我們進入了知識信息化時代，兒童要在將來適應高科技發展，應提前學習數字化的電腦知識，而我認為像集合等數學思想是數學發展最重要的基礎，在小學恰當地滲透學習，從小形成感性認識，是學生提早接觸現代數學的必要環節。 下面就從集合思想的角度談一談小學數學中如何滲透現代數學思想。 一、概念的界定 （一）學術定義 1、集合思想 集合是指分散的人或物聚集到一起。在數學中，集合是指一組具有某種共同性質的數學元素。一定范圍的，確定的，可以區別的事物，當作一個整體來看待，就叫做集合，簡稱集，其中各事物叫做集合的元素或簡稱元。所謂集合思想是指在數學思想中包含的應用集合知識的思想被稱之為集合思想。 2、現代數學思想 所謂數學思想，是指人們對數學理論與內容的本質認識，它直接支配著數學的實踐活動。所謂現代數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。數學思想是對數學事實與理論經過概括後產生的本質認識；基本數學思想則是體現或應該體現於基礎數學中的具有奠基性、總結性和最廣泛的數學思想，它們含有傳統數學思想的精華和現代數學的基本特徵，並且是歷史地發展著的。通過數學思想的培養，數學的能力能才會有一個大幅度的提高。掌握數學思想，就是掌握數學的精髓。 3、小學數學 小學數學是學習高等數學的基礎，是學習離散數學、模糊數學的必備知識，因此小學數學類似於初等數學但又不完全是初等數學。初等數學在工具書中的解釋是不涉及變數數學分支的統稱。研究常量間的代數運算和不同形體內部及相互間的關系，分別形成了初等代數和初等幾何，統稱為初等數學。1 小學課程的主要內容，諸如算數、代數、幾何、三角等統稱為初等代數。2 因此，小學數學主要以初等數學為主要學習內容，同時穿插高等數學思想。 （二）適當滲透現代數學思想的意義 適當滲透一些內容和方法，在小學數學教學中，主要滲透的現代數學思想是：集合、對應、統計等。滲透這些思想是根據小學生的認知規律，採取形象直觀的形式，在不出現這些現代數學的數學的術語、符號的前提下，使用直觀圖形進行滲透，讓學生直觀地受到潛移默化的影響。 二、小學數學教學中滲透現代數學思想的必要性 在小學數學教學中滲透現代數學思想有著不可估量的作用，不僅是學生思維發展的基礎，也是教師教學的好助手。 （一）從心理學角度 在認知心理學里，數學思想屬於元認知范疇，它對認知活動起著監控、調節作用，對培養能力起著決定性的作用。學習數學的目的「就意味著解題」（波利亞語），解題關鍵在於找到合適的解題思路，現代數學思想和方法 就是幫助構建解題思路的指導思想。因此，向學生滲透一些基本的數學思想方法，提高學生的元認知水平，是培養學生分析問題和解決問題能力的重要途徑。 （二） 從社會需求角度 數學知識本身是非常重要的，但它並不是惟一的決定因素，真正對學生以後的學習、生活和工作長期起作用，並使其終生受益的是數學思想方法。未來社會將需要大量具有較強數學意識和數學素質的人才。21世紀國際數學教育的根本目標就是「問題解決」。因此，向學生滲透一些基本的數學思想方法， 是未來社會的要求和國際數學教育發展的必然結果。 （三） 從素質教育角度 小學數學教學的根本任務是全面提高學生素質，其中最重要的因素是思維素質，而數學思想方法就是增強學生數學觀念，形成良好思維素質的關鍵。如果將學生的數學素質看作一個坐標系，那麼數學知識、技能就好比橫軸上的因素，而數學思想方法就是縱軸的內容。淡化或忽視數學思想方法的教學，不僅不利於學生從縱橫兩個維度上把握數學學科的基本結構，也必將影響其能力的發展和數學素質的提高。因此，向學生滲透一些基本的數學思想方法，是數學教學改革的新視角，是進行數學素質教育的突破口。 三、小學數學教材中蘊含的現代數學思想中集合思想的舉例 （一）在小學教材中滲透集合思想的意義 在小學數學教學中滲透現代數學思想有著不可估量的作用。通過圖形的觀察、比較，使學生獲得一些感性認識，加深學生對基礎知識的理解，有利於培養學生的思維能力，有利於開發學生的智力，有利於進一步學習數學和現代科學技術。集合思想在是現代數學思想中佔有很重要的地位，而小學教材中的知識又無時無刻地體現著集合思想，因此，在小學數學教材中滲透現代數學思想也提示著廣大教師要重視現代數學思想的滲透。
㈥ 什麼是數學中的集合思想
集合思想在高中數學中的應用
山東諸城 李國鋒 王磊
集合是近代數學中的一個重要概念，集合思想已成為現代數學的理論基礎，與高中數學的許多內容有著廣泛的聯系，中學數學所研究的各種對象都可以看作集合或集合中的元素，用集合語言可以明了地表述數學概念，准確、簡捷地進行數學推理。集合論的創始人是徳國數學家康托爾（G.Cantor，1845 - 1918）。他的集合思想的主要特徵包括概括原則、外延原則、一一對應原則和實無窮思想。其概括原則用於造集，外延原則保證了集合的確定性，一一對應原則引出了基數概念，揭示了無窮集的本質特徵。三個原則的採用，使數學中引入了實無窮思想。數學教師在教學中還可以運用集合思想建立數學概念系統，或在復習教學中幫助學生歸納、整理數學知識。對於數學學習來說，要幫助學生養成這樣一種集合的思維習慣：善於把在某些方面有類似性質的對象（或滿足某一條件的對象）放在一起視為一個集合，然後利用集合的有關概念或通過集合的有關計算來研究和解決問題。人教B版教材中更是注重了集合思想,下面談談教材在集合思想的突出應用：
應用一：中學數學中常見的集合有（1）數集；（2）方程（或方程組的）解集；（3）不等式（或不等式組）的解集；（4）點集。
只有深刻理解集合概念，明確集合中元素的屬性，熟練地運用集合與集合的關系解決具體問題上下功夫,才能讀懂用集合語言描述的數學命題，並順利地用集合語言解答方程或不等式問題。
例1：集合M={y∣y=x2-1,x∈R},N={x∣y=},則M∩N等於（ ）
分析：集合M中的元素是y,它表示函數y=x2-1的值域，從而M={ y∣y≥-1}.集合N中的元素是x,它表示函數y=的定義域，從而N={ x∣ }.因此，M∩N={x∣}
例2：設f(x)=x2+ax+b,a,b∈R,A={x∣f(x)=x}={a},求a,b.
分析：A是方程f(x)=x的解集，A={a}表示方程有兩個相等的實根a 。
方程即為x2+(a-1)x+b=0，又a是方程的解，由韋達定理可求a=,b=
更為重要的是，集合思想溝通了數和形的內在聯系，使得由某個圖形性質給出的點集和滿足某性質P的實數對組成的集合建立起一一對應的關系，進而使中學數學能夠用代數方法解答幾何問題，能夠對代數命題給出幾何解釋，還能夠通過幾何圖形來解決代數問題。僻如新教材中球、橢圓、雙曲線、拋物線等概念都是用集合定義的，形象又直觀，便於學生理解。
例3：集合A={(x,y)∣y=x + m},B={(x,y)∣y=},如果A∩B是單元素集，求m的取值范圍。
分析：集合A表示的是斜率為1的一組平行直線，集合B表示的方程變形為x2-y2=4(y≤0)，表示雙曲線x2-y2=4在x軸下方的部分（包括兩個交點），而A∩B是單元素集，則說明直線與半雙曲線有一個公共點。如圖：
將雙曲線的一條漸近線y=x分別向上、向下平移，可得m的取值范圍是m≤-2或0<m≤2。
集合的關系、集合的運算等都是從元素的角度予以定義的。因此，求解集合問題時，抓住元素的特徵進行分析，就相當於牽牛抓住了牛鼻子。
應用二：主要表現為一個概念是另一個概念的一般化，或此概念是彼概念的特殊情形。
用集合的包含關系建立概念系統，可以培養學生善於將概念推廣的研究精神，並能幫助學生對數學定理、法則、公式等的認識進一步系統化，從而提高學習質量。
如：{正方體}{長方體}{直平行六面體}{平行六面體}{四稜柱}{稜柱}；數列與函數兩概念；互斥事件與對立事件兩概念等。
例4：給出四個命題：（1）各側面是正方形的稜柱都是正稜柱，（2）對角面是全等矩形的六面體一定是長方體，（3）有兩個側面垂直於底面的稜柱一定是直稜柱，（4）長方體一定是正四稜柱。其中正確命題的個數是：
A .0 B.1 C.2 D.3
分析：藉助集合間的關系，明確各概念的聯系和區別。此題選A。
例5：數列{an}是等差數列，a1=50,d= -0.6，求此數列的前n項和的最大值。
分析：數列的定義域是正整數集（或它的有限子集{1、2、3、4、……n}），因此可把數列作為特殊函數理解。
思路1：表示等差數列的孤立的點在直線上，因此可應用單調性 。
由a1=50,d= -0.6,得an= -0.6n+50.6,令an≤0 ,有n≥84.3 。又 n,則n≥85,即從第85項起以後各項均小於0。所以(Sn)max=S84=2108.4
思路2：等差數列的前n項和Sn是關於n的二次函數,可用二次函數的方法處理 。
Sn=50n +,當n取接近於的自然數，即n=4時，Sn達到最大值 S84=2108.4
例6：若以連續擲兩次骰子分別得到的點數m,n作為點P的坐標，求點P在圓內的概率。（人教B版必修3，118頁第3題）
分析：記點P在圓內為事件A，則A是基本事件空間的子集。基本事件總數是,A包含的基本事件有（1，1）（2，2）（1，3）（1，2）（2，3）（3，1）（3，2）（2，1）共8個，.
應用三：有許多數學問題，它的解是由幾個條件決定的，每一個條件都可以確定某種元素的一個集合，它們的交集的元素就是問題的解，對這樣一類數學問題，我們常可以運用求交集的思想來試錯與篩選。
例7：求函數y=的定義域。（人教B版必修1，86頁第4題）
分析：函數的定義域是指使式子有意義的集合，由多個式子經過代數運算而成的函數，求其定義域需取多個式子有意義的交集。
由得
所以函數的定義域是（）。
例8：已知函數y=在[-1,+∞]上是減函數，求a的取值范圍.
分析：本題含著兩層意思：3x2-ax+5>0在[-1,+∞]上恆成立，t=3x2-ax+5在[-1,+∞]上是增函數，實數a的范圍是兩者的交集。
由題意得：，且滿足x=-1時3x2-ax+5>0,綜上得 -8。
而有些需要分類討論的問題，解題過程往往過於繁雜，此時運用補集的思想(即「正難則反」思想)去解答，常常可以簡化討論。
例9：擲3枚硬幣，至少出現一個正面向上的概率是 （人教B版必修3，131頁第2（3）題）
分析：「至少出現一個正面向上」的事件含有1個向上，2個向上，3個向上3類可能，正面做答比較繁瑣，可以從它的對立面出發，考慮「一次也不出現正面向上」即「全是反面」的概率。
P＝1－＝。
例10：如果一元二次方程ax2+2x+1=0至少有一個負的實數根，確定這個結論成立的充要條件。（人教B版選修2—1，31頁第6題）
分析：「方程至少有一個負的實數根」有一個負根，兩個負根兩類可能，正面做答比較繁瑣，可以從它的對立面出發，考慮「方程沒有負的實數根」。
由有，。
又 a無解。
因此，。
布魯納說過，掌握數學思想可使數學問題更容易理解和記憶，領會數學思想是通向遷移大道的「光明之路」。本部分內容含有豐富的數學思想，例如數形結合的思想、分類討論的思想、等價轉化的思想、正難則反的思想等等，顯得十分活躍。在教學過程中，注意這些數學思想的挖掘、提煉和滲透，不僅可以幫助學生掌握知識的本質，駕馭問題的求解，而且對於開發學生的智力，培養學生的能力，優化學生的思維品質，提高課堂教學的效果，都具有十分重要的意義。
㈦ 集合思想
集合是近代數學中的一個重要概念,集合思想已成為現代數學的理論基礎,與高中數學的許多內容有著廣泛的聯系,中學數學所研究的各種對象都可以看作集合或集合中的元素,用集合語言可以明了地表述數學概念,准確、簡捷地進行數學推理.
應用一：中學數學中常見的集合有（1）數集；（2）方程（或方程組的）解集；（3）不等式（或不等式組）的解集；（4）點集.
應用二：主要表現為一個概念是另一個概念的一般化,或此概念是彼概念的特殊情形.
應用三：有許多數學問題,它的解是由幾個條件決定的,每一個條件都可以確定某種元素的一個集合,它們的交集的元素就是問題的解,對這樣一類數學問題,我們常可以運用求交集的思想來試錯與篩選.
布魯納說過,掌握數學思想可使數學問題更容易理解和記憶,領會數學思想是通向遷移大道的「光明之路」.本部分內容含有豐富的數學思想,例如數形結合的思想、分類討論的思想、等價轉化的思想、正難則反的思想等等,顯得十分活躍.在教學過程中,注意這些數學思想的挖掘、提煉和滲透,不僅可以幫助學生掌握知識的本質,駕馭問題的求解,而且對於開發學生的智力,培養學生的能力,優化學生的思維品質,提高課堂教學的效果,都具有十分重要的意義