数学教育教学理论图书

1. 数学教育考研 考哪些科目

英语政治数学

1.英语和政治是必须考的。

2.接下来有些学校要考数学,有些直接是2门专业课。版

3.建议根据具体学权校提问或者查找该学校的历年考研大纲.上面有规定详细考试科目的。

4.专业课不是教育学,而是几门并在一起的.一般来说有教育学原理外国教育史中国教育史教育研究方法教育心理学等等。

5.以北师大为例，

初试科目：政治、英语和数学（线性代数、数学分析）；

(1)数学教育教学理论图书扩展阅读

一、须使用数学一的招生专业

1.工学门类中的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、冶金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、网络工程、电子信息工程、计算机科学与技术、土木工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等20个一级学科中所有的二级学科、专业。

2.授工学学位的管理科学与工程一级学科。

二、须使用数学二的招生专业

工学门类中的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等5个一级学科中所有的二级学科、专业。

2. 费赖登塔尔数学教育理论有什么基本观点

弗赖登塔尔生于1905年，1930年获柏林大学博士学位．1951年起为荷兰皇家科学院院士，1971—1976年任荷兰数学教育研究所所长．数学家布劳威尔的学生，早年从事纯粹数学研究．作为著名的数学家，弗赖登塔尔非常关注教育问题，他很早就把数学教育作为自己思考和研究的对象，在这一点上弗赖登塔尔与其他科学家有所不同．弗赖登塔尔一生发表关于数学教育的著述达几百篇(部)，其中4本巨著用多种文字出版，在国际上产生了重大影响．它们是：《作为教育任务的数学》、《播种和除草》、《数学结构的教学现象》、《数学教育再探——在中国的讲学》．
弗赖登塔尔的数学教育思想主要有：强调数学教育必须面向社会现实，必须联系日常生活实际，注重培养和发展学生从客观现象找出数学问题的能力；用再创造的方法去进行教学，反对灌输式和死记硬背；提倡讨论式、指导式的教学形式，反对传统的讲演式的教学形式．

他的教育思想可用三个词概括：数学现实，数学化，再创造。
数学现实是指数学来源于现实，也扎根于现实，并且应用与现实。这是Freudenthal数学教育理论的出发点，数学是现实世界人类经验的系统化总结。根据数学的发展历史来看，不管是数学概念，还是数学定理与公式，都是基于现实世界的需要而一步一步形成的。
在他看来，数学化是指人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化。简单的说，运用数学方法组织现实世界的过程就是数学化。Freudenthal认为：与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”；与其说是学习公理系统；还不组说是学习“公理化”；与其说是学习形式体系，还不如说是学习“形式化”。
具体说来，现实数学教育所说的数学化分为两个层次：水平数学化和垂直数学化。水平数学化是指由现实问题到数学问题的转化，是从“生活”到“符号”的转化。垂直数学化是从具体问题到抽象概念的转化，是从“符号”到“概念”的转化。
再创造是Freudenthal数学教育理论最核心的部分，它是建立在数学是人类的一种活动的基础上的.他反复强调：学习数学唯一正确的方法是实行再创造，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。数学发展的历程应在个人身上重现，但不是机械的重复。从数学发展的历程来看，这是符合人类认知规律的。
而现实中教材的编排却是，把思维过程颠倒过来，把结果作为出发点，去把其它东西推导出来。Freudenthal称这种为“教学法的颠倒”，这种颠倒掩盖了数学创造的思维过程，若不经过再创造，就难以真的理解数学，更别谈应用。

3. 顾泠沅的数学教育理论观点

顾泠沅认为，美国的30个孩子，虽然只有10人学会了游泳，但这10人一定很优秀，而它付出了淹死20个孩子的代价；而中国的30个孩子都学会了游泳，但付出了一部分孩子本来可以通过挣扎自己学会游泳的代价。两国的这两种教育模式，一种是接受式，一种是活动式，各有利弊，要善于合理安排、取长补短，寻找“中间地带”。
20世纪80年代以来，中国的基础教育引起了国际教育界的关注，西方学者对中国的中小学教学进行了初步调查，结果发现中国的中小学教学既有其独特的优势，也存在着不容忽视的弊端。当时西方学者认为中国教学主要存在几种弊端：一是单一讲授的上课方式，教师灌输，学生被动接受；二是班级规模大，一般超过40人，多至50人以上；三是低认知水平的频繁考试和高度竞争，造成教师、学生沉重的负担。有学者甚至把中国的教学特点描述为“一个受尊敬的长者传输知识给处于服从地位的年少者”。
然而，从学生学业评价的角度看，中国中小学教学又具有明显的优势。大量研究显示：海外中国留学生一般会取得比其实际智商预期更高的学业成就；IEA研究表明中国学生成绩总是高于美国学生的成绩；在国际数学奥林匹克比赛中，中国学生表现一贯优异。这些优势和弊端促使顾泠沅对中国中小学课堂教学进行深层思考，并在上海地区开展了一系列课堂观察研究活动。
1999年6月，美国卡内基教学促进基金会主席李·舒尔曼率团访华，与上海市教育科学研究院联合举办了“中美数学教育高级研讨会”。作为大会执行主席的顾泠沅在会上首次提出了“寻找中间地带”的观点。他在展示并分析了大量课堂观察研究成果后指出，在中美两国教育之间，可能存在一个中间地带，双方可以基于各自的本土文化，相互借鉴，取长补短，用以改进本国的教育教学。他的这一观点最终成为中美双方与会代表的共识。
一年之后，顾泠沅随国家教育发展中心回访美国卡内基教学促进基金会。首次出访美国的12天里，他几乎放弃了所有的游览活动，夜以继日地整理考察笔记，每天只睡四五个小时。回国之后，他又用了近两个月时间，加工完成了7万余字的美国基础教育访问考察报告。美国之行，进一步论证了他“寻找中间地带”的观点。
顾泠沅认为，也许中美双方的教育都到了一个需要认真反思的转折点，审视双方的教育优劣，以本国的传统优势为基点，结合双方优点，进而消除两者的缺点是“中间地带”的内涵。以我国的基础教育课程设置为例，顾泠沅建设性地提出了“增加课程的可选择性”、“拓宽创造性学习的课程渠道”等具体方案，以期培养中国学生动手操作的实践能力和创造力。而鉴于这类教学对我国中小学来说相对陌生，因此适当借鉴美国中学的“项目学习”经验很有必要。 [1]

顾泠沅-教改探索

第一阶段——经验筛选。在青浦实验阶段，为了大面积地提升教学质量，顾泠沅顶风冒雨走遍每一所学校，听课达几千节。在此基础上，由一线教师与研究人员结成一体，在积累大量零星的原型经验的同时，通过符合一定程序的行动和思辨，提炼出有效的经验系统。第二阶段，顾泠沅在上海普陀区通过听课100节进行课堂观察技术的研究，他通过录像带比较，归纳出教师课堂教学的优势与不足，然后形成系统分析与归类。
顾泠沅发现，教师进行课程改革遇到的最大困惑就是面对“两个落差”，即从课程的指导思想到教材编制和教学设计、从教材编制和教学设计到课堂实践的落差。经过这两个落差的“筛滤”，课改的先进理念进入课堂后往往就所剩无几了。
以教师培训的形式解决“两个落差”问题，目前国际上有两种做法：一是同事互助指导，即同事间的相互听课。这种做法有利于缩小课程发展与教师实践之间的落差，可以引发互相的切磋与教学研究。但顾泠沅认为，它只利用了同层级的横向支援，明显缺少纵向引领，而先进的理念如果没有以课程内容为载体的具体指引与对话，就会囿于同水平反复。
二是案例研究。这种做法在医生、律师、工商管理等行业中收效甚大。“但教师是一个特殊的职业，与医生、律师、工商管理者相比，后者技术含量高，前者工艺性特别讲究；后者的学习与培训可以采用书面个案讨论的方式，而前者还需在反复讨论中作行为自省与调整跟进。”
在经过反复实践论证，特别是研究了中国众多优秀教师、教改先行者的成长历程之后，顾泠沅发现他们无一例外都是在“课堂拼搏”中“学会教学”的。它带来的启示是，保持同事之间的互助指导，还须注重纵向的理念引领；保持侧重讨论式的案例教学，还需包含行为自省的全过程反思。于是，在传统的教师培训模式之外，顾泠沅提出了一种以课例为载体、在教学行动中开展的、包括专业理论学习在内的教师行动教育。顾泠沅将“行动教育”模式划分为三个阶段：关注个人已有经验的原行为阶段、关注新理念支撑下的新设计阶段、关注学生获得的新行为阶段。承接这三个阶段的，是专业引领下的两轮合作反思：一是反思已有行为与新理念、新经验的差距，完成更新理念的飞跃；二是反思理性的教学设计与学生实际获得的差距，完成理念向行为的转移。
“行动教育”作为教师教育的新模式又由三个要素组成：课例，它是行动的载体；合作平台，研究者与教师的合作主要有课例讨论、情境设计、行为反省；运作过程，整个流程包含了原行为、新设计、新行为三个阶段，其间有两轮反思与调整。这样经过流程的多次往复，达到螺旋式的上升。
“实践的行为要有理性的介入，没有理性就没有理想”。从2003年开始，顾泠沅领衔的教师培训以区域推进的方式在9个区进行推广。通过培训与各区县的教师进修学院形成合作伙伴关系，培养了一批骨干教师，使各个区县的教师进修学院、教研室拥有一批研究人员，并与高校、市教科院等研究机构的专家形成了一个网络。同时，简化了运作过程，变“三个阶段，两次反思”为“一个课例，三次讨论”。顾泠沅用自己的一步一个脚印抵制着当今社会涌动着的“浮躁”“浮夸”“浮华”的潜流。
总结半个多世纪基础教育改革的成败得失，顾泠沅认为：改革应由管理者、专家、教师的共同体来承担。不要把改革交给单一人群，每位实践者的通透理解和熟练掌握是最后的保障。要讲究研究主体的合理建构，多种背景的人组合起来，才有可能获得突破。以往教师的研究有“教研”、“科研”、“德研”之分，教师培训有“师训”、“干训”之别，成员则有各个领域的理论工作者与实际工作者两大阵营。近年来，顾泠沅大力提倡并大规模推进的行动研究、课堂观察、同伴互助、专业引领、案例分析、行为跟进、反思性实践和教学研修范式更新等，都充分体现了他的群体理想和建构原则。 [1]
http://nanczh.blog.163.com/blog/static/1121536201271801418774/ 这是他的博客

4. 数学教育的基本理论发展

详解：

数学，其英文是mathematics，这是一个复数名词，“数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。”

历史

自古以来，多数人把数学看成是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系（恩格斯）”的认识（恩格斯），又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。数学既可以来自现实世界的直接抽象，也可以来自人类思维的劳动创造。

从人类社会的发展史看，人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化。“数学的根源在于普通的常识，最显著的例子是非负整数。"欧几里德的算术来源于普通常识中的非负整数，而且直到19世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识，”另一个例子是几何中的相似性，“在个体发展中几何学甚至先于算术”，其“最早的征兆之一是相似性的知识，”相似性知识被发现得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切，随着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上。与这种观点相对应，从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《数学与善》中说，“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，”数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”1931年，歌德尔（K，G0de1，1978）不完全性定理的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾，这样，人们又想到了数学是经验科学的观点，著名数学家冯·诺伊曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。

本质特征

对于上述关于数学本质特征的看法，我们应当以历史的眼光来分析，实际上，对数本质特征的认识是随数学的发展而发展的。由于数学源于分配物品、计算时间、丈量土地和容积等实践，因而这时的数学对象（作为抽象思维的产物）与客观实在是非常接近的，人们能够很容易地找到数学概念的现实原型，这样，人们自然地认为数学是一种经验科学；随着数学研究的深入，非欧几何、抽象代数和集合论等的产生，特别是现代数学向抽象、多元、高维发展，人们的注意力集中在这些抽象对象上，数学与现实之间的距离越来越远，而且数学证明（作为一种演绎推理）在数学研究中占据了重要地位，因此，出现了认为数学是人类思维的自由创造物，是研究量的关系的科学，是研究抽象结构的理论，是关于模式的学问，等等观点。这些认识，既反映了人们对数学理解的深化，也是人们从不同侧面对数学进行认识的结果。正如有人所说的，“恩格斯的关于数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的提法与布尔巴基的结构观点是不矛盾的，前者反映了数学的来源，后者反映了现代数学的水平，现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦。”而关于数学是研究模式的学问的说法，则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特征的阐释，另外，从思想根源上来看，人们之所以把数学看成是演绎科学、研究结构的科学，是基于人类对数学推理的必然性、准确性的那种与生俱来的信念，是对人类自身理性的能力、根源和力量的信心的集中体现，因此人们认为，发展数学理论的这套方法，即从不证自明的公理出发进行演绎推理，是绝对可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演绎出来的结论也一定是真的，通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑，数学家们得出的结论显然是毋庸置疑的、无可辩驳的。

事实上，上述对数学本质特征的认识是从数学的来源、存在方式、抽象水平等方面进行的，并且主要是从数学研究的结果来看数学的本质特征的。显然，结果（作为一种理论的演绎体系）并不能反映数学的全貌，组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程，而且从总体上来说，数学是一个动态的过程，是一个“思维的实验过程”，是数学真理的抽象概括过程。逻辑演绎体系则是这个过程的一种自然结果。在数学研究的过程中，数学对象的丰富、生动且富于变化的一面才得以充分展示。波利亚（G. Poliva，1888一1985）认为，“数学有两个侧面，它是欧几里德式的严谨科学，但也是别的什么东西。由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”弗赖登塔尔说，“数学是一种相当特殊的活动，这种观点“是区别于数学作为印在书上和铭，记在脑子里的东西。”他认为，数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一种组织得很好的状态，”也即“数学的形式”是数学家将数学（活动）内容经过自己的组织（活动）而形成的；但对大多数人来说，他们是把数学当成一种工具，他们不能没有数学是因为他们需要应用数学，这就是，对于大众来说，是要通过数学的形式来学习数学的内容，从而学会相应的（应用数学的）活动。这大概就是弗赖登塔尔所说的“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”的含义。菲茨拜因（Efraim Fischbein）说，“数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体，这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程：数学本质上是人类活动，数学是由人类发明的，”数学活动由形式的、算法的与直觉的等三个基本成分之间的相互作用构成。库朗和罗宾逊（Courani Robbins）也说，“数学是人类意志的表达，反映积极的意愿、深思熟虑的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是逻辑与直觉、分析与构造、一般性与个别性。虽然不同的传统可能强调不同的侧面，但只有这些对立势力的相互作用，以及为它们的综合所作的奋斗，才构成数学科学的生命、效用与高度的价值。”

其它解释

另外，对数学还有一些更加广义的理解。如，有人认为，“数学是一种文化体系”，“数学是一种语言”，数学活动是社会性的，它是在人类文明发展的历史进程中，人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。数学对人类的思维方式产生了关键性的影响．也有人认为，数学是一门艺术，“和把数学看作一门学科相比，我几乎更喜欢把它看作一门艺术，因为数学家在理性世界指导下（虽然不是控制下）所表现出的经久的创造性活动，具有和艺术家的，例如画家的活动相似之处，这是真实的而并非臆造的。数学家的严格的演绎推理在这里可以比作专门注技巧。就像一个人若不具备一定量的技能就不能成为画家一样，不具备一定水平的精确推理能力就不能成为数学家，这些品质是最基本的，它与其它一些要微妙得多的品质共同构成一个优秀的艺术家或优秀的数学家的素质，其中最主要的一条在两种情况下都是想象力。”“数学是推理的音乐，”而“音乐是形象的数学”．这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质，还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。尼斯（Mogens Niss）等在《社会中的数学》一文中认为，数学是一门学科，“在认识论的意义上它是一门科学，目标是要建立、描述和理解某些领域中的对象、现象、关系和机制等。如果这个领域是由我们通常认为的数学实体所构成的，数学就扮演着纯粹科学的角色。在这种情况下，数学以内在的自我发展和自我理解为目标，独立于外部世界，另一方面，如果所考虑的领域存在于数学之外，数学就起着用科学的作用，数学的这两个侧面之间的差异并非数学内容本身的问题，而是人们所关注的焦点不同。无论是纯粹的还是应用的，作为科学的数学有助于产生知识和洞察力。数学也是一个工具、产品以及过程构成的系统，它有助于我们作出与掌握数学以外的实践领域有关的决定和行动，数学是美学的一个领域，能为许多醉心其中的人们提供对美感、愉悦和激动的体验，作为一门学科，数学的传播和发展都要求它能被新一代的人们所掌握。数学的学习不会同时而自动地进行，需要靠人来传授，所以，数学也是我们社会的教育体系中的一个教学科目．”

从上所述可以看出，人们是从数学内部（又从数学的内容、表现形式及研究过程等几个角度）。数学与社会的关系、数学与其它学科的关系、数学与人的发展的关系等几个方面来讨论数学的性质的。它们都从一个侧面反映了数学的本质特征，为我们全面认识数学的性质提供了一个视角。

基于对数学本质特征的上述认识，人们也从不同侧面讨论了数学的具体特点。比较普遍的观点是，数学有抽象性、精确性和应用的广泛性等特点，其中最本质的特点是抽象性。A，。亚历山大洛夫说，“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地觉察到数学的这些特点：第一是它的抽象性，第二是精确性，或者更好他说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性，最后是它的应用的极端广泛性”王梓坤说，“数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确必”这种看法主要从数学的内容、表现形式和数学的作用等方面来理解数学的特点，是数学特点的一个方面。另外，从数学研究的过程方面、数学与其它学科之间的关系方面来看，数学还有形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”的特点。对数学特点的认识也是有时代特征的，例如，关于数学的严谨性，在各个数学历史发展时期有不同的标准，从欧氏几何到罗巴切夫斯基几何再到希尔伯特公理体系，关于严谨性的评价标准有很大差异，尤其是哥德尔提出并证明了“不完备性定理…以后，人们发现即使是公理化这一曾经被极度推崇的严谨的科学方法也是有缺陷的。因此，数学的严谨性是在数学发展历史中表现出来的，具有相对性。关于数学的似真性，波利亚在他的《数学与猜想》中指出，“数学被人看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面，以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比．你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”正是从这个角度，我们说数学的确定性是相对的，有条件的，对数学的形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”特点的强调，实际上是突出了数学研究中观察、实验、分析。比较、类比、归纳、联想等思维过程的重要性。

研究内容

人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。

对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。

人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。

数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。

数论的发展简况

自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。

自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。

在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。

到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。

在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。

数论的基本内容

数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。

初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”，就是初等数论中很重要的内容。

解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比如，对于“质数有无限多个”这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的是解析数论中的筛法。

代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。

几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。

数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。

由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。

数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题……

在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩。

特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。至今，这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果。

人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。

对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。

人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。

数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。

数论的发展简况

自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。

自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。

在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。

到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。

在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。

数论的基本内容

数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。

初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”，就是初等数论中很重要的内容。

解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比如，对于“质数有无限多个”这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中也使用的是解析数论的方法。

代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。

几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。

数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。

由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。

数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题……

在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩。

特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。至今，这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果。

数学的定义

定义1：
还是一百多年前,恩格斯给数学下的定义是“研究客观世界的数量关系和空间形式的科学”,空间形式就是指的几何学

源自: 高师几何教学改革的设想 《楚雄师专学报》 2001年 陈萍
来源文章摘要：本文在反思师专几何教学现状的基础上 ,提出改革几何教学的一些建议

定义2：
数学定义是对数学发展的概括和总结.必然具有其阶段性与局限性,不存在适合任何时期亘古不变的数学定义.3.现代数学时期(19世纪末以来)现代数学时期是以1873年康托尔(G·Cantor)建立集合论为起点

源自: 从“数学是什么”谈数学及数学教育 《零陵学院学报》 2004年 肖家洪
来源文章摘要：<正> 数学是什么?这是一个公认的难于回答的问题。1941年,美国数学家R·柯朗与H·罗宾斯合作写了一本书,题目就是《数学是什么》。该书缘何不以“什么是数学”为题,我想二者是否有所区别,“数学是什么”,

5. 小学数学教学理论有哪些

1、皮亚杰的认知发展理论
2、布鲁纳的认知发现学习理论
3、奥苏伯尔的认知同化学习理论
4、当今建构主义学习理论

6. 小学数学教育教学理论

现代教学理论认为：教学过程既是学生在教师指导下的认知过程,又是学生能力的发展过程。因此教师要彻底掘弃和摆脱传统的"填鸭式"教学，把主要经历放在为学生创设学习情境,提供信息，引导学生积极思维上.关键是增强学生的参与意识,提高学生的参与意识,提高学生的课堂参与度。

一、利用学生原有的知识和能力是提高课堂参与度的必要条件。

奥苏伯尔认为：学生是否能吸取到新的信息与学生认知结构中已有的有关概念和经验有很大关系。数学学科有其严密的系统性和逻辑性，大多数数学知识点都有其前期的基础，后期的深化和发展。给学生必要的知识和技能的准备是学生积极参与数学课堂教学的必要条件，因此，在数学教学过程中，教师应把所学的知识作适当的"降格处理"。
所谓"降格处理"，有的是把新知识通过难度下降，使新知识变成学生似曾相识的东西。激发学生解决问题的欲望；有的是找准新旧知识的连接点。学生在学习数学中完全陌生的内容是很少见的，对学习的内容总是既感到熟悉，有感到陌生。要让学生在新旧知识的比较中找出共同点与区别点，顺利的完成正迁移，通过类似的探索解决新的问题。

启发学生思考：①能不能把与 直接相加？②可以怎么计算？然后让学生独立完成。通过这样的处理，教师积极的引导学生参与算法的探究过程，能充分利用已有的同分母分数加减法和通分的知识学会异分母分数加减法的计算方法。

二、引导学生动手操作是提高课堂参与度的重要手段。

课堂教学是师生多边的活动过程。教师的"教"是为了学生的"学"。优化课堂教学的关键是教师在教学过程中积极引导学生最大限度的参与，让学生动手操作、动眼观察、动脑思考、动口表达。因此，教师必须强化学生的参与意识，主动为学生参与教学过程创设条件、创设情境，如教学"长方体的特征"这一课，主要设计了以下几个环节：
1. 首先教师出示若干个物体的包装盒，让学生先对他们进行分类，并叙述自己的分类理由。
2. 教师拿起一个每个面都是长方形的盒子让学生观察、触摸长方体有什么特征。
3．通过学生的总结、教师的引到总结出长、正方体的所有特征。
4．让学生用橡皮泥做顶点、长短不同的细木棒做棱，四人一个小组合作制作一个长方体、一个正方体。
通过这样的设计，将操作、观察、思维与语言表达结合在一起，不仅使学生参与教学的整个过程，而且还启迪了思维发展，达到了数学教学使学生既长知识又长技能的目的。

三、设置认知冲突是提高学生课堂参与度的重要因素

学生的参与欲望是一个不容忽视的因素，而学生的认知冲突是学生学习动机的源泉，也是学生积极参与思维学习的原因。所以，教师在教学中要不断设置认知冲突，激发学生的参与欲望。如"长、正方形的面积"这一课的教学，先出示12个大小相同的1cm2小正方形，摆一个大长方形,有几种摆法？然后提问长方形的面积与什么有关？有什么关系？你能验证吗？通过这样设计，层层深入，不断设置认知冲突，是学生始终处于一个不断发现问题和解决问题的过程之中。有助于激发学生的求知欲望和参与欲望。

四、因材施教，是提高课堂参与度的前提条件

面向全体学生，让每个学生都参与到整个学习活动中去。同时，又要注意学生个性的发展，这是大面积提高教学质量的前提。个性差异毕竟存在，所以在课堂上必须做到"上不封顶，下要保底"。在教学中，我针对各种教学内容，精心设计课堂练习，让不同认知水平的学生从实际出发，有题可做。

7. 小学数学教育教学理论主题

1、皮亚杰的认知发展理论 2、布鲁纳的认知发现学习理论 3、奥苏伯尔的认知同化学习理论 4、当今建构主义学习理论

8. 数学教育学什么

数学教育学的对象

一、数学教育理论的产生

数学教育作为社会现象产生至今已经历数千年的漫长时期。在这历史进程中数学教育无论从内容、组织形式到规模上都有了很大的发展变化，这种发展变化导致了把数学教育作为研究对象的理论学科的诞生。最早提出把数学教育过程从教育过程中分离出来，作为一门独立的科学加以研究的是瑞士教育家别斯塔洛齐（J.H.Pestalozzi）。他在发表于1803年的《关于数的直觉理论》一书中，第一次提出了“数学教学法”这一名词，因此，人们一般认为，数学教育理论体系是从19世纪初开始创立的。

在我国1917年北京大学就有专门研究数学教授法的学者胡睿济，上世纪40年代商务印书馆还专门出版了中国人自己编写的数学教学法书籍。新中国成立后，通过苏联教育文献的输入而使数学教学法得到系统的发展。我国数学教育理论的研究经历从数学教学法到数学教材教法，进而建立数学教育学三个大的变革阶段。每一个阶段都从研究对象范围、研究目的、研究特点和研究手段上有了革命性的变化。数学教育学是一门涉及数学、教育学、思维科学等有关内容的新兴交叉学科。虽然我国在20世纪80年代就出现不少数学教育学著作，数学教育理论研究的水平日益提高，逐步形成理论体系，但是数学教育学目前尚处于理论建设和教学实验阶段，有待发展、完善。现在，首先对数学教育学的研究对象、特点、结构以及研究方法分别进行探讨。

二、数学教育学的研究对象

广义地说， 数学教育学所要研究的是与数学教育有关的一切问题， 如社会与数学教育的交互作用，数学教师的素养与培训，数学教材的编写与评价，学生学习规律的研究，数学教学方法的选择与应用，数学教学组织形式的探讨，现代化技术手段的使用，数学语言的作用与培养，数学思维的结构与培养，数学能力含义与培养，数学教学过程的实质与规律，数学教育与其它学科教育的相关性，数学教育比较研究等等不一而足。

这里，教学过程应当是众多问题中的核心问题，数学教育学首先应该集中在与教学过程有关的问题上来探讨。

教学过程，特别是数学教学过程，是教师利用一系列手段（教科书，教具，技术手段）来实现的控制过程，是师生信息交互传递过程，是由师生双方协同活动来完成的，可以用图0-1-1表示：

教师、学生与课程是传递系统的三个基本构成要素，教师与学生为传递和接收的主体，知识是这个传递系统的客体。在教学过程中，教师是教学的组织者与领导者，教师对教学规律的认识、掌握与运用决定着教学质量的优劣。因此， 数学教学规律到底是什么， 应该作为重要内容。这样，数学教学论应该作为数学教育学的研究对象之一。反映教学内容和要求的教材和课程，是知识技能结构的规范，是实施教学的主要依据。课程的设置，教材编写，应该遵循什么样原则和规律，才能满足培养人的要求。因而，数学课程论也应当作为数学教育学的研究对象之一。教学过程需要有学生自觉、积极地参加，学生学习数学要经历一个复杂的心理过程，有其自身的规律，这些规律到底是什么，应该加以研究。因此，数学学习论也应作为数学教育学的研究对象之一。

综上所述，数学教育学的主要研究对象应是数学教学论、数学课程论和数学学习论，即所谓“三论”。

德国包斯费尔德（H.Bauersfeld）在第三届国际数学教育会议（ICME3-1976）上描述了数学教育的三个研究对象：课程、教学、学习。后来美国汤姆·凯伦（Tom Kieren）在一篇题为“数学教育研究——三角形”的社评中把它们形象地比作三角形的三个顶点，分别对应于三种人：课程设计者、教师、学生。数学教育有三个研究方面，这就是课程论、教学论、学习论。

这三个方面是紧密相联的，彼此渗透交织、联系着，很难独立地进行研究，它们的关系就相当于三角形的边，研究一个顶点对其它两个顶点的研究也会发挥作用。

这个三角形有个“兴趣中心”，就是儿童和成人实际学习数学的经验。研究者应有效地利用这些经验，亦使自己的研究能直接或间接地完善这些经验。

三角形应有内部和外部，有关教学设计、教学和分析课堂活动的研究，以及教学经验等都属于数学教育研究这个三角形的 “内部” 。数学、心理学、教育学、哲学、思维科学、技术手段、符号和语言等都属于数学教育研究这个三角形的“外部”。

从上面论述我们可以得出以下几点结论：

（1）数学教育学的研究对象是紧密相关的三个方面：数学课程论、数学教学论、数学学习论。

（2） 三论是以实践经验为背景的， 而且研究结果会直接或间接地丰富、完善这些经验。这说明数学教育学是一门实践性很强的理论学科，而且研究数学教育学的目的是提高学习数学的质量。

（3）数学教育学涉及到数学、哲学、教育学、心理学、思维科学等多门学科的综合性学科。

（4）数学教育学的研究手段可以是教学设计、教学、分析课堂活动、实验、定向观察等。

三、数学教育学的特点

数学教育学主要具有综合性、实践性、科学性、教育性等特点。

1. 综合性

数学教育学是一门与数学、教育学、心理学、思维科学等学科相关联的综合性学科。所谓综合性，不是这些学科的随意拼凑与组合，而是从数学与数学教学的特点出发，运用这些学科的原理、结论、思想、观点和方法，来解决数学教育本身的问题。

研究数学教育必须要有一定的数学修养，而且数学的造诣越高，越能把握数学内部的精髓。正是在这个意义上来说，研究数学教育一刻也不能离开数学。但值得指出的是，数学教育不是数学的自然结果，因为数学教育有其自身的规律性。

数学学习是一个特殊的认识过程，它当然要受制于一般的认识规律。但是数学学习的对象有其自身的特点（如抽象性、概括性较高、知识的前因后果联系比较紧密等）。这样，数学学习又有其特殊性。数学教育的综合性就是这种一般性与特殊性的高度统一。这种统一不是简单地把特殊性作为一般性的肯定例证，而是在一般理论的指导下，从数学教育的特殊性出发引出适合于数学教育的必要的一些结论，从而充分、丰富一般性结论。

数学教育学的综合性特点要求我们：要注意与数学教育学密切相关的学科的发展，例如，心理学里认知心理学派提出关于数学思维结构与数学科学结构相似的观点， 教学论里吸收了许多系统论、 信息论和控制论的观点等等，都要引起我们的注意与研究。随着数学教育的发展，一些新学科的思想和观点，也会引进到数学教育的研究领域里。

2. 实践性

数学教育学的实践性表现在以下三个方面：

第一，数学教育学要以广泛的实践经验为其背景。数学教育实践始终是数学教育研究的源泉，离开实践，数学教育就成为无源之水，无本之木。只是从理论到理论的论述，是不能解决教学实际问题的。

第二，数学教育学所研究的问题来自实践。就以课程论为例。就有许多悬而未决的问题需要数学教育学去研究，如对传统的中小学数学内容如何评价？对数学教材的现代化如何理解？在数学教材中如何体现素质教育的特点等等，都是当前亟待解决的问题，也是数学教育应该研究的问题。

第三，数学教育学要能指导实践，亦能通过实践检验理论。对于实践性的理解，不能太偏窄，由于理论的层次不同，它们对实践指导的直接性也会不同。

3. 科学性

数学教育学的科学性一般体现在数学教育要符合数学教育发展的一般规律，符合事物发展的趋势，符合实际。

数学教育的一般规律是客观存在的，问题在于是否已被人们所认识，认识的深度如何？由于人们认识的深度、角度不同，对于同一个问题可能会有不同的看法，这是非常自然的事。 数学教育不像数学那样， 对于同一个问题，虽然方法不同，但正确的结论是唯一的。而数学教育却不一样，对于同一个问题，可能有许多种处理的方法，而这些方法都可能得到不同的、较为理想的结果。这是数学教育科学性的一个特点。

客观规律是无穷无尽的，人们的认识也是无穷无尽的。人们的认识总是要受着当时的科学技术发展、文化背景以及个人的某种条件的限制，因而总有一定的局限性。随着时代的发展，对某一问题的认识也是会发展的，有的还有重新认识的必要。例如，计算机的出现并被引入教学后，无论对教学内容的选择、教学方法的运用以及教学组织形式等有被重新认识的必要。

凡搞形式主义、绝对化的都不符合科学性。有的人把某种教学方法自封为最优的，或者把某种理论与做法说成最优的，忽视了时间、地点、条件、对象，而把问题孤立起来，或把问题与外界隔绝开来，从而绝对化，这是不符合科学性要求的。

数学教育学科学性还体现在要符合事物的发展趋势，要跟上时代发展的步伐。

4. 教育性

数学教育学做为一门教育学科，应充分发挥它对各级各类数学教育人才的培养功能，为基础教育服务。数学教育肩负着培养四化人才的重任，应该在培养高师学生具有深厚的教育理论功底与较强的教育教学能力以及创新能力方面发挥它的作用。

四、数学教育学的结构及其相关学科

数学教育学研究的对象主要是数学学习论、数学课程论、数学教学论，这三论的关系如图0-1-2所示：

虽然三论是互相关联的，研究其中的一论必然会影响另外两论。但是，这三论中，学习论是基础，它提供给课程论与教学论必要的心理学根据，教学论是学习论与课程论的直接体现者。

数学教育学的结构及其相关学科，我们用图0-1-3表示。

数学教育学及其相关学科大致分为三部分：

1. 基础部分

其中包括哲学、数学、数学思想史、中学数学近代基础、数学方法论、教育学、心理学、逻辑学、思维科学、计算机科学、计算机辅助教学等。

数学，除了包括解析几何、高等代数、数学分析的旧三基外，还要包括拓扑学、抽象代数、泛函分析的新三基，除此之外，还应有概率统计、离散数学、模糊数学、几何基础、集合论以及一些传统的初等数学。总之，数学教育工作者所需要的数学， 应该是广而博， 并在一个分支上有较深入的了解。

数学思想史，着重研究一个数学概念或数学分支如何由孕育、成熟到发展，如何由粗糙到精确，其间的思想是如何发展，从而对研究数学教育得到必要的启示。

中学数学近代基础，是用高观点研究初等数学的一门课程。换句话说，是把初等数学置于现代的，统一的观点下来研究，从而对初等数学有更深刻的认识。

数学方法论，它是从方法论的角度研究和讨论数学发展规律，数学思想方法以及数学中的发现、发明与创造等。

教育学，包括教育论与教学论部分，属于一般的教育教学规律。

心理学，这里指普通心理学，它主要研究认识过程、情感过程和意志过程中的心理活动规律。

逻辑学，包括数理逻辑和形式逻辑两部分，并以形式逻辑为其重点。

计算机科学，包括计算机原理，几种常用的程序语言以及编程的方法与技巧。

计算机辅助教学，包括计算机辅助教学作用、教学原则以及课件的编制等。

以上是研究数学教育学的必要的基础，数学教育学主要是研究下面的核心部分。

2. 核心部分

其中包括数学课程论、数学学习论、数学教学论

3. 拓广部分

其中包括数学教育评价、数学教育史、数学教育心理学、比较数学教育学。

数学教育评价，包括一般的评价概念、数学课程的评价、数学教学的评价、数学学习的评价，评价不是目的而是手段，通过评价肯定成绩、发现问题， 提出进一步改进的意见； 通过评价选择适合学习的教学方法和学习方法。

数学教育史，包括中、外数学教育发展的历史，特别是对一些代表人物的数学教育思想的研究，从而对当今的数学教育有所启示，做到洋为中用，古为今用。

数学教育心理学，它是以数学教育过程中的师生交互行为为对象，研究教育情境中的各种心理现象及其变化，分析被教育者身心发展对教育条件的依存关系，探讨学生在教育条件下，知识、技能、能力、态度、个性品质的形成和发展的规律、特点。

比较数学教育学， 它是研究当今世界不同国家、 民族和地区的数学教育；在研究其各自的经济、政治、哲学和民族传统的基础上，研究教育的某些共同点，发展规律以及其总的趋势，进行科学预测。其目的在于吸取外国的有益经验，供发展我国的数学教育参考。

由此可见，数学教育是一门涉及相当广泛领域的学科，所以也可以把数学教育学看作一个科学体系，就像数学下属有许多分支一样。本课程对上述内容的核心部分作简要介绍，其它内容请参阅有关论著。

五、数学教育学的研究方法

数学教育学的研究方法是指研究数学教育现象及其规律所采用的方法，具体说是探索数学教育内部各要素之间和其它事物之间的关系以及数学教育的质和量之间的变化和规律所采用的方法。

一般的教育研究的方法，如观察法、文献法、调查法、统计法、行为研究法、比较法、分析法、实验法、经验总结法等都适用于数学教育的研究。

但就目前的情况来看，数学教育研究方法还应注意以下几点：

1. 理论与实际的统一

数学教育学是一门实践性很强的理论科学，从发展的眼光来看，应当把理论研究和实验研究更加进一步地结合起来，互相补充，互相为用，促使数学教育的研究深入发展。

数学教育在理论研究和实验研究上的脱节表现在两个方面：一方面，过去数学教育的研究方法大都使用的是思辨的方法，即从自己的经验、或有关文献、或看到有关数学教育现象的基础上，进行独立思考，或对某一课题加以论证、或提出自己的观点或判断，基本上限于理论的阐述，与实际数学教学还有一定的距离。另一方面，实际教学工作者所进行的数学教育缺乏理论上的进一步研究。

在数学教育的研究中，我们提倡：实事求是，理论联系实际，一切从实际出发。理论与实际的任何方式的割裂，都不利于数学教育的研究。

2. 局部与整体的统一

数学教育学中所涉及的各个部分、 各个问题都是互相依存、 互相关联的。我们研究问题只能一个个地加以解决，但是所要解决的问题是在整体之下，处在整体之下其它问题的关联之中，因此，我们研究问题必须考虑它与整体的关系，它与其它部分的关系。

局部与整体的统一， 实际上就是运用系统方法。 所谓系统方法，就是把认识对象作为系统来认识的方法，它通过对系统中整体与部分之间相互联系、相互作用的研究，辩证地把分析与综合结合起来，以达到从整体上正确地认识问题或合理地解决问题。

系统方法有以下两个主要特征：

第一，系统方法强调对事物整体性研究

世界上各种对象、事件、过程都不是杂乱无章的偶然堆积，而是一个合乎规律的由各个组成部分组成的有机整体。事物整体的性质只存在于各个组成要素相互联系这中，各个孤立的部分的总和亦不能反映整体的本质和运动规律。

第二，系统方法强调分析与综合的辩证结合

分析方法就是把整体分解为部分、方面、要素来认识的方法，综合法则是把各个部分、方面、要素联结起来作为整体认识的方法。在系统方法中，分析与综合有机地结合起来，分析要以综合为指导，综合要以分析为基础，而沟通分析与综合的桥梁则是系统各个组成部分之间固有的联系。

数学教育研究要注意运用系统方法

3. 定性和定量的统一

任何事物都是质和量的统一体，事物质的方面和量的方面是互相联系、互相制约的。我们认识事物，首先是认识它的性质，即进行所谓定性分析，事物不仅有质的方面，而且有量的方面，在认识事物性质的基础上，我们还必须把握它的量的方面，就是对事物的属性进行数量上的分析，即进行所谓定量分析，从而准确地判定事物的变化。如果我们只对事物作定性分析，不作定量分析，那么我们对事物的认识可能不全面。

过去，数学教育的研究大多是定性分析，从理论到理论，而缺乏量上的进一步刻划。这样不易把握教学， 教学理论的应用也没有说服力。 我们认为，定性分析是揭示数学教育规律的开始，是定量分析的基础；定量分析是揭示数学规律的继续和深入，是定性分析的进一步精确化。如果既进行定性分析，又进行定量分析，那么，不但能从质上把握数学教育规律，而且能从量上刻划数学教学规律。在数学教育的研究上，定性分析和定量分析的统一是我们努力的方向。

辩证唯物论是数学教育的哲学基础。具体地说，物质性与辩证性是数学教育的哲学基础。

物质性概括地说表现在两个方面：其一，就是数学教育的实践性，以及数学教育研究的理论与实践的统一，数学教育是以广泛的实践经验为其背景的，教育理论要以教育实践赋予其生命力，教育思想一边要跟踪教育实践的足迹；其二，考虑数学教育必须立足于我国国情，不符合我国国情的一切思想、理论与方法是没有生命力的。

辩证性概括地说表现在三个方面：其一，一切思想、理论和方法都是有条件的，而且是互相关联的；其二，理论与实际、局部与整体、定性分析与定量分析是辩证的。不仅如此， 还有如教与学、 师与生、遗传、教育、环境、 集体化教育与个别化教育等等也都是辩证统一的， 只有辩证地处理它们，才会收到预期的效果； 其三， 数学教育是动态的，而且数学教育的思想、理论和方法也是动态的，随着时代的发展而发展。

明确物质性和辩证性，并以它们为基础去发展数学教育学，将会使数学教育沿着正确的方向和道路前进。

9. 小学数学教师应看些什么教育理论书籍

《大夏书系·你能成来为最好的数源学教师》推荐理由：
亲爱的老师，我们知道，从踏上讲台那一刻起，成为同行中的佼佼者就一直是你孜孜以求的梦想，但梦想何以成真呢？本书作者是全国著名的特级教师，他结合自己多年来给教师培训的鲜活案例以及曾潜心研究过的名师特征，用八个篇章，即名师篇、教学篇、课程篇、育人篇、学习篇、教研篇、艺术篇、发展篇，细化走向优秀之道，为你娓娓道来“成为最好的数学教师”的秘籍。书中的案例、技巧和方法，都来源于作者数年的课堂实践和理论研究，既令人倍感亲切又无比实用。
《做一个优秀的小学数学教师》《简约数学教学》等等，内容都不错