集合在小学数学教学中应用的

Ⅰ 如何进行小学集合概念教学

一、什么是数学概念
数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中中的反映。数学的研究对象是客观事物的数量关系和空间形式。在数学中，客观事物的颜色、材料、气味等方面的属性都被看作非本质属性而被舍弃，只保留它们在形状、大小、位置及数量关系等方面的共同属性。在数学科学中，数学概念的含义都要给出精确的规定，因而数学概念比一般概念更准确。
小学数学中有很多概念，包括：数的概念、运算的概念、量与计量的概念、几何形体的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及统计初步知识的有关概念等。这些概念是构成小学数学基础知识的重要内容，它们是互相联系着的。如只有明确牢固地掌握数的概念，才能理解运算概念，而运算概念的掌握，又能促进数的整除性概念的形成。
二、小学数学概念的表现形式
在小学数学教材中的概念，根据小学生的接受能力，表现形式各不相同，其中描述式和定义式是最主要的两种表示方式。
1．定义式
定义式是用简明而完整的语言揭示概念的内涵或外延的方法，具体的做法是用原有的概念说明要定义的新概念。这些定义式的概念抓住了一类事物的本质特征，揭示的是一类事物的本质属性。这样的概念，是在对大量的探究材料的分析、综合、比较、分类中，使之从直观到表象、继而上升为理性的认识。如“有两条边相等的三角形叫等腰三角形”；“含有未知数的等式叫方程”等等。这样定义的概念，条件和结论十分明显，便于学生一下子抓住数学概念的本质。
2．描述式
用一些生动、具体的语言对概念进行描述，叫做描述式。这种方法与定义式不同，描述式概念，一般借助于学生通过感知所建立的表象，选取有代表性的特例做参照物而建立。如：“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4、5……叫自然数”；“象1.25、0.726、0.005等都是小数”等。这样的概念将随着儿童知识的增多和认识的深化而日趋完善，在小学数学教材中一般用于以下两种情况。
一种是对数学中的点、线、体、集合等原始概念都用描述法加以说明。例如，“直线”这一概念，教材是这样描述的：拿一条直线，把它拉紧，就成了一条直线。“平面”就用“课桌面”、“黑板面”、“湖面”来说明。
另一种是对于一些较难理解的概念，如果用简练、概括的定义出现不易被小学生理解，就改用描述式。例如，对直圆柱和直圆锥的认识，由于小学生还缺乏运动的观点，不能像中学生那样用旋转体来定义，因此只能通过实物形象地描述了它们的特征，并没有以定义的形式揭示它们的本质属性。学生在观察、摆拼中，认识到圆柱体的特征是上下两个底面是相等的圆，侧面展开的形状是长方形。
一般来说，在数学教材中，小学低年级的概念采用描述式较多，随着小学生思维能力的逐步发展，中年级逐步采用定义式，不过有些定义只是初步的，是有待发展的。在整个小学阶段，由于数学概念的抽象性与学生思维的形象性的矛盾，大部分概念没有下严格的定义；而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。对于不容易理解的概念就暂不给出定义或者采用分阶段逐步渗透的办法来解决。因此，小学数学概念呈现出两大特点：一是数学概念的直观性；二是数学概念的阶段性。在进行数学概念教学时，我们必须注意充分领会教材的这两个特点。
三、小学数学概念教学的意义
首先，数学概念是数学基础知识的重要组成部分。
小学数学的基础知识包括：概念、定律、性质、法则、公式等，其中数学概念不仅是数学基础知识的重要组成部分，而且是学习其他数学知识的基础。学生掌握基础知识的过程，实际上就是掌握概念并运用概念进行判断、推理的过程。数学中的法则都是建立在一系列概念的基础上的。事实证明，如果学生有了正确、清晰、完整的数学概念，就有助于掌握基础知识，提高运算和解题技能。相反，如果一个学生概念不清，就无法掌握定律、法则和公式。例如，整数百以内的笔算加法法则为：“相同数位对齐，从个位加起，个位满十，就向十位进一。”要使学生理解掌握这个法则，必须事先使他们弄清“数位”、“个位”、“十位”、“个位满十”等的意义，如果对这些概念理解不清，就无法学习这一法则。又如，圆的面积公式S=πr2，要以“圆”、“半径”、“平方”、“圆周率”等概念为基础。总之小学数学中的一些概念对于今后的学习而言，都是一些基本的、基础的知识。小学数学是一门概念性很强的学科，也就是说，任何一部分内容的教学，都离不开概念教学。
其次，数学概念是发展思维、培养数学能力的基础。
概念是思维形式之一，也是判断和推理的起点，所以概念教学对培养学生的思维能力能起重要作用。没有正确的概念，就不可能有正确的判断和推理，更谈不上逻辑思维能力的培养。例如，“含有未知数的等式叫做方程”，这是一个判断。在这个判断中，学生必须对“未知数”、“等式”这几个概念十分清楚，才能形成这个判断，并以此来推断出下面的6道题目，哪些是方程。
(1)56+23＝79 (2)23-x＝67 (3)x÷5＝4.5
(4)44×2＝88 (5)75÷x＝4 (6)9+x＝123
在概念教学过程中，为了使学生顺利地获取有关概念，常常要提供丰富的感性材料让学生观察，在观察的基础上通过教师的启发引导，对感性材料进行比较、分析、综合，最后再抽象概括出概念的本质属性。通过一系列的判断、推理使概念得到巩固和运用。从而使学生的初步逻辑思维能力逐步得到提高。
6.1.3 数学概念教学的一般要求
1．使学生准确理解概念
理解概念，一要能举出概念所反映的现实原型，二要明确概念的内涵与外延，即明确概念所反映的一类事物的共同本质属性，和概念所反映的全体对象，三要掌握表示概念的词语或符号。
2．使学生牢固掌握概念
掌握概念是指要在理解概念的基础上记住概念，正确区分概念的肯定例证和否定例证。能对概念进行分类，形成一定的概念系统。
3．使学生能正确运用概念
概念的运用主要表现在学生能在不同的具体情况下，辨认出概念的本质属性，运用概念的有关属性进行判断推理。
四、小学数学概念教学的过程与方法
根据数学概念学习的心理过程及特征，数学概念的教学一般也分为三个阶段：①引入概念，使学生感知概念，形成表象；②通过分析、抽象和概括，使学生理解和明确概念；③通过例题、习题使学生巩固和应用概念。
（一）数学概念的引入
数学概念的引入，是数学概念教学的第一个环节，也是十分重要的环节。概念引入得当，就可以紧紧地围绕课题，充分地激发起学生的兴趣和学习动机，为学生顺利地掌握概念起到奠基作用。
引出新概念的过程，是揭示概念的发生和形成过程，而各个数学概念的发生形成过程又不尽相同，有的是现实模型的直接反映；有的是在已有概念的基础上经过一次或多次抽象后得到的；有的是从数学理论发展的需要中产生的；有的是为解决实际问题的需要而产生的；有的是将思维对象理想化，经过推理而得；有的则是从理论上的存在性或从数学对象的结构中构造产生的。因此，教学中必须根据各种概念的产生背景，结合学生的具体情况，适当地选取不同的方式去引入概念。一般来说，数学概念的引入可以采用如下几种方法。
1、以感性材料为基础引入新概念。
用学生在日常生活中所接触到的事物或教材中的实际问题以及模型、图形、图表等作为感性材料，引导学生通过观察、分析、比较、归纳和概括去获取概念。
例如，要学习“平行线”的概念，可以让学生辨认一些熟悉的实例，像铁轨、门框的上下两条边、黑板的上下边缘等，然后分化出各例的属性，从中找出共同的本质属性。铁轨有属性：是铁制的、可以看成是两条直线、在同一个平面内、两条边可以无限延长、永不相交等。同样可分析出门框和黑板上下边的属性。通过比较可以发现，它们的共同属性是：可以抽象地看成两条直线；两条直线在同一平面内；彼此间距离处处相等；两条直线没有公共点等，最后抽象出本质属性，得到平行线的定义。
以感性材料为基础引入新概念，是用概念形成的方式去进行教学的，因此教学中应选择那些能充分显示被引入概念的特征性质的事例，正确引导学生去进行观察和分析，这样才能使学生从事例中归纳和概括出共同的本质属性，形成概念。
2、以新、旧概念之间的关系引入新概念。
如果新、旧概念之间存在某种关系，如相容关系、不相容关系等，那么新概念的引入就可以充分地利用这种关系去进行。
例如，学习“乘法意义”时，可以从“加法意义”来引入。又如，学习“整除”概念时，可以从“除法”中的“除尽”来引入。又如，学习“质因数”可以从“因数”和“质数”这两个概念引入。再如，在学习质数、合数概念时，可用约数概念引入：“请同学们写出数1，2，6，7，8，12，11，15的所有约数。它们各有几个约数？你能给出一个分类标准，把这些数进行分类吗？你能找出多种分类方法吗？你找出的所有分类方法中，哪一种分类方法是最新的分类方法？”
3、以“问题”的形式引入新概念。
以“问题”的形式引入新概念，这也是概念教学中常用的方法。一般来说，用“问题”引入概念的途径有两条：①从现实生活中的问题引入数学概念；②从数学问题或理论本身的发展需要引入概念。
4、从概念的发生过程引入新概念。
数学中有些概念是用发生式定义的，在进行这类概念的教学时，可以采用演示活动的直观教具或演示画图说明的方法去揭示事物的发生过程。例如，小数、分数等概念都可以这样引入。这种方法生动直观，体现了运动变化的观点和思想，同时，引入的过程又自然地、无可辩驳地阐明了这一概念的客观存在性。
（二）数学概念的形成
引入概念，仅是概念教学的第一步，要使学生获得概念，还必须引导学生准确地理解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性。为此，教学中可采用一些具有针对性的方法。
1、对比与类比。
对比概念，可以找出概念间的差异，类比概念，可以发现概念间的相同或相似之处。例如，学习“整除”概念时，可以与“除法”中的“除尽”概念进行对比，去比较发现两者的不同点。用对比或类比讲述新概念，一定要突出新、旧概念的差异，明确新概念的内涵，防止旧概念对学习新概念产生的负迁移作用的影响。
2、恰当运用反例。
概念教学中，除了从正面去揭示概念的内涵外，还应考虑运用适当的反例去突出概念的本质属性，尤其是让学生通过对比正例与反例的差异，对自己出现的错误进行反思，更利于强化学生对概念本质属性的理解。
用反例去突出概念的本质属性，实质是使学生明确概念的外延从而加深对概念内涵的理解。凡具有概念所反映的本质属性的对象必属于该概念的外延集，而反例的构造，就是让学生找出不属于概念外延集的对象，显然，这是概念教学中的一种重要手段。但必须注意，所选的反例应当恰当，防止过难、过偏，造成学生的注意力分散，而达不到突出概念本质属性的目的。
3、合理运用变式。
依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本质属性具有较明显的突出特征，容易形成干扰的信息，而削弱学生对概念本质属性的正确理解。因此，在教学中应注意运用变式，从不同角度、不同方面去反映和刻画概念的本质属性。一般来说，变式包括图形变式、式子变式和字母变式等。
例如，讲授“等腰三角形”概念，教师除了用常见的图形展示外，还应采用变式图形去强化这一概念，因为利用等腰三角形的性质去解题时，所遇见的图形往往是后面几种情形。
（三）数学概念的巩固
为了使学生牢固地掌握所学的概念，还必须有概念的巩固和应用过程。教学中应注意如下几个方面。
1、注意及时复习
概念的巩固是在对概念的理解和应用中去完成和实现的，同时还必须及时复习，巩固离不开必要的复习。复习的方式可以是对个别概念进行复述，也可以通过解决问题去复习概念，而更多地则是在概念体系中去复习概念。当概念教学到一定阶段时，特别是在章节末复习、期末复习和毕业总复习时，要重视对所学概念的整理和系统化，从纵向和横向找出各概念之间的关系，形成概念体系。
2、重视应用
在概念教学中，既要引导学生由具体到抽象，形成概念，又要让学生由抽象到具体，运用概念，学生是否牢固地掌握了某个概念，不仅在于能否说出这个概念的名称和背诵概念的定义，而且还在于能否正确灵活地应用，通过应用可以加深理解，增强记忆，提高数学的应用意识。
概念的应用可以从概念的内涵和外延两方面进行。
（1）概念内涵的应用
①复述概念的定义或根据定义填空。
②根据定义判断是非或改错。
③根据定义推理。
④根据定义计算。
例4（1）什么叫互质数？答： 是互质数。
（2）判断题：
27和20是互质数（ ）
34与85是互质数（ ）
有公约数1的两个数是互质数（ ）
两个合数一定不是互质数（ ）
（ 3）钝角三角形的一个角是 82o，另两个角的度数是互质数，这两个角可能是多少度？
（4）如果P是质数，那么比P小的自然数都与P互质。这句话对吗？请说明理由？
2．概念外延的应用
（1）举例
（2）辨认肯定例证或否定例证。并说明理由。
（3）按指定的条件从概念的外延中选择事例。
（4）将概念按不同标准分类。
例5（1）列举你所见到过的圆柱形物体。
（2）下列图形中的阴影部分，哪些是扇形？（图6－2）
（3）分母是9的最简真分数有＿分子是9的假分数中，最小的一个是
（4）将自然数2－19按不同标准分成两类（至少提出3种不同的分法）
概念的应用可分为简单应用和综合应用，在初步形成某一新概念后通过简单应用可以促进对新概念的理解，综合应用一般在学习了一系列概念后，把这些概念结合起来加以应用，这种练习可以培养学生综合运用知识的能力。
五、小学数学概念教学中应注意的问题
1、把握概念教学的目标，处理好概念教学的发展性与阶段性之间的矛盾。
概念本身有自己严密的逻辑体系。在一定条件下，一个概念的内涵和外延是固定不变的，这是概念的确定性。由于客观事物的不断发展和变化，同时也由于人们认识的不断深化，因此，作为人们反映客观事物本质属性的概念，也是在不断发展和变化的。但是，在小学阶段的概念教学，考虑到小学生的接受能力，往往是分阶段进行的。如对“数”这个概念来说，在不同的阶段有不同的要求。开始只是认识1、2、3、……，以后逐渐认识了零，随着学生年龄的增大，又引进了分数(小数)，以后又逐渐引进正、负数，有理数和无理数，把数扩充到实数、复数的范围等。又如，对“0”的认识，开始时只知道它表示没有，然后知道又可以表示该数位上一个单位也没有，还知道“0”可以表示界限等。
因此，数学概念的系统性和发展性与概念教学的阶段性成了教学中需要解决的一对矛盾。解决这一矛盾的关键是要切实把握概念教学的阶段性目标。
为了加强概念教学，教师必须认真钻研教材，掌握小学数学概念的系统，摸清概念发展的脉络。概念是逐步发展的，而且诸概念之间是互相联系的。不同的概念具体要求会有所不同，即使同一概念在不同的学习阶段要求也有差别。
有许多概念的含义是逐步发展的，一般先用描述方法给出，以后再下定义。例如，对分数意义理解的三次飞跃。第一次是在学习小数以前，就让学生初步认识了分数，“像上面讲的 、、、、、等，都是分数。”通过大量感性直观的认识，结合具体事物描述什么样的是分数，初步理解分数是平均分得到的，理解谁是谁的几分之几。第二次飞跃是由具体到抽象，把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份都可以用分数来表示。从具体事物中抽象出来。然后概括分数的定义，这只是描述性地给出了分数的概念。这是感性的飞跃。第三次飞跃是对单位“1”的理解与扩展，单位“1”不仅可以表示一个物体、一个图形、一个计量单位，还可以是一个群体等，最后抽象出，分谁，谁就是单位“1”，这样单位“1”与自然数“1”的区别就更加明确了。这样三个层次不是一蹴而就的，要展现知识的发展过程，引导学生在知识的发生发展过程中去理解分数。
再如长方体和立方体的认识在许多教材中是分成两个阶段进行教学的。在低年级，先出现长方体和立方体的初步认识，通过让学生观察一些实物及实物图，如装墨水瓶的纸盒、魔方等。积累一些有关长方体和立方体的感性认识，知道它们各是什么形状，知道这些形状的名称。然后，通过操作、观察，了解长方体和立方体各有几个面，每个面是什么形状，进一步加深对长方体和立方体的感性认识。再从实物中抽象出长方体和立方体的图形(并非透视图)。但这一阶段的教学要求只要学生知道长方体和立方体的名称，能够辨认和区分这些形状即可。仅仅停留在感性认识的层次上。第二阶段是在较高年级。教学时仍要从实例引入。教学长方体的认识时，先让学生收集长方体的物体，教师先说明什么是长方体的面、棱和顶点，让学生数一数面、棱和顶点各自的数目，量一量棱的长度，算一算各个面的大小，比较上下、左右、前后棱和面的关系和区别。然后归纳出长方体的特征。再从长方体的实例中抽象出长方体的几何图形。进而可以让学生对照实物，观察图形，弄清楚不改变观察方向，最多可以看到几个面和几条棱。哪些是看不见的，图中是怎样来表示的。还可以让学生想一想，看一看，逐步看懂长方体的几何图形，形成正确的表象。
在把握阶段性目标时，应注意以下几点：
(1)在每一个教学阶段，概念都应该是确定的，这样才不致于造成概念混乱的现象。有些概念不严格下定义，但也要依据学生的接受能力，或者用描述代替定义，或者用比较通俗易懂的语言揭示概念的本质特征。同时注意与将来的严格定义不矛盾。
(2)当一个教学阶段完成以后，应根据具体情况，酌情指出概念是发展的，不断变化的。如：有一位学生在认识了长方体之后，认为课本中的任何一张纸的形状也是长方体的。说明该学生对长方体的概念有了更进一步的理解，教师应加以肯定。
(3)当概念发展后，教师不但指出原来概念与发展后概念的联系与区别，以便学生掌握，而且还应引导学生对有关概念进行研究，注意其发展变化。如“倍”的概念，在整数范围内，通常所指的是，如果把甲量当作1份，而乙量有这样的几份，那么乙量就是甲量的几倍。在引入分数以后，“倍”的概念发展了，发展后的“倍”的概念，就包含了原来的“倍”的概念。如果把甲量当作l份，乙量也可以是甲量的几分之几。
因此，在数学概念教学中，要搞清概念之间的顺序，了解概念之间的内在联系。数学概念随着客观事物本身的发展变化和研究的深入不断地发展演变。学生对数学概念的认识，也需要随着数学学习的程度的提高，由浅入深，逐步深化。教学时既要注意教学的阶段性，不能把后面的要求提到前面，超越学生的认识能力；又要注意教学的连续性，教前面的概念要留有余地，为后继教学打下埋伏。从而处理好掌握概念的阶段性与连续性的关系。
2、加强直观教学，处理好具体与抽象的矛盾
尽管教材中大部分概念没有下严格的定义，而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。对于不容易理解的概念就暂不给出定义或者采用分阶段逐步渗透的办法来解决。但对于小学生来说，数学概念还是抽象的。他们形成数学概念，一般都要求有相应的感性经验为基础，而且要经历一番把感性材料在脑子里来回往复，从模糊到逐渐分明，从许多有一定联系的材料中，通过自己操作、思维活动逐步建立起事物一般的表象，分出事物的主要的本质特征或属性，这是形成概念的基础。因此，在教学中，必须加强直观，以解决数学概念的抽象性与学生思维形象性之间的矛盾。
（1）通过演示、操作进行具体与抽象的转化
教学中，对于一些相对抽象的内容，尽可能地利用恰当的演示或操作使其转化为具体内容，然后在此基础上抽象出概念的本质属性。
几何初步知识，无论是线、面、体的概念还是图形特征、性质的概念都非常抽象，因此，教学中更要加强演示、操作，通过让学生量一量、摸一摸、摆一摆、拼一拼来让学生体会这些概念，从而抽象出这些概念。
例如“圆周率”这一概念非常抽象，有的教师在课前，布置每个学生用硬纸制做一个圆，半径自定。上课时，就让每个学生在课堂作业本上写出三个内容：(1)写出自己做的圆的直径；(2)滚动自己的圆，量出圆滚动一周的长度，写在练习本上；(3)计算圆的周长是直径的几倍。全班同学做完后，要求每个同学汇报自己计算的结果。
然后引导学生分析发现：不管圆的大小，它的周长总是直径的3倍多一点。这时再揭示：这个倍数是个固定的数，数学上叫做圆周率。再让学生任意画一个圆，量出直径和周长加以验证。这样，引导学生把大量的感性材料，加以分析、综合、抽象、概括，抛弃事物的非本质属性(如圆的大小、测量时用的单位等)，抓住事物的本质特征(圆的周长总是直径的3倍多一点)，形成了概念。
这样教师借助于直观教学，运用学生原有的一些基础知识，逐步抽象，环环紧扣，层次清楚。通过实物演示，使学生建立表象，从而解决了数学知识的抽象性与儿童思维的形象性的矛盾。
（2）结合学生的生活实际进行具体与抽象的转化
教学中有许多数量关系都是从具体生活内容中抽象出来的，因此，在教学中应该充分利用学生的生活实际，运用恰当的方式进行具体与抽象的转化，即把抽象的内容转化为学生的具体生活知识，在此基础上又将其生活知识抽象为教学内容。
例如乘法交换律的教学，往往让学生先解答这样的习题：一种钢笔，每盒10支，每支3元，买2盒钢笔要多少元?学生在实际解答中发现，这道题可以有两种解答思路，一种是先求出“每盒多少元”，再求出“2盒要多少元”，算式是(3×10) ×2＝60元；另一种是先求出“一共有多少支钢笔”，再求出“2盒多少元”，算式是3×(2×10)＝60元。乘法分配律的教学也是让学生解答类似的问题，如：一件上衣50元，一条裤子30元，买这样的5套衣服需要多少元?这样借助于学生熟悉的生活情景，使抽象的问题变得具体化。
同样常见数量关系中的单价、总价与数量之间的关系；路程、速度与时间的关系，工作量、工作效率与工作时间之间的关系等，都应结合学生的生活经验，通过具体的题目将其抽象出来，然后又利用这些关系来分析解决问题。这样的训练有利于使学生的思维逐渐向抽象思维过渡，逐步缓解知识的抽象性与学生思维的具体形象性的矛盾。
但是，运用直观并不是目的，它只是引起学生积极思维的一种手段。因此概念教学不能只停留在感性认识上，在学生获得丰富的感性认识后，要对所观察的事物进行抽象概括，揭示概念的本质属性，使认识产生飞跃，从感性上升到理性，形成概念。
3、遵循小学生学习概念的特点，组织合理有序的教学过程
尽管小学生获取概念有概念形成和概念同化这两种基本形式，各类概念的形成又有各自的特点，但不管以何种方式获得概念，一般都会遵循从“引入一理解一巩固一深化”这样的概念形成路径。下面就概念教学中每个环节的教学策略及应注意的问题作一阐述。
（1）概念的引入要注重提供丰富而典型的感性材料
在概念引入的过程中，要注意使学生建立起清晰的表象。因为建立能突出事物共性的、清晰的典型表象是形成概念的重要基础，因此，在小学数学的概念教学中，无论以什么方式引入概念，都应考虑如何使小学生在头脑中建立起清晰的表象。概念教学一开始，应根据教学内容运用直观手段向学生提供丰富而典型的感性材料，如采用实物、模型、挂图，或进行演示，引导学生观察，并结合实验，让学生自己动手操作，以便让学生接触有关的对象，丰富自己的感性认识。
如在一节教学分数的意义的课上，一位教师为了突破单位“l”这一教学难点，事先向学生提供了各种操作材料：一根绳子，4只苹果图，6只熊猫图，一张长方形纸，l米长的线段等，通过比较、归纳出：一个物体、一个计量单位、一个整体都可以用单位“1”表示，从而突破理解单位“1”这一难点，为理解分数的意义奠定了基础。

Ⅱ 小学数学什麽叫集合

集合是数学中一个不加定义概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本专理论在属19世纪被数学家康托尔创立。最简单的说法，就是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义，集合就是“一些东西”。集合里的“东西”，叫作元素。集合有元素组成，没有元素的集合叫做空集，有不明白请追问，望采纳哦！

Ⅲ 举例说明在小学数学教学中如何渗透集合的概念

在小学数学教学中如何渗透集合思想的几点做法

集合是近代数学中的一个重要概念。集合思想是现代数学思想向小学数学渗透的重要标志，在解决某些数学问题时，若是运用集合思想，可以使问题解决得更简单明了。集合论的创始人是德国的数学家康托（1845——1918），其主要思想方法可归结为三个原则，即概括原则、外延原则、一一对应原则。自集合论创立以来，它的概念、思想和方法已经渗透到现代数学的各个分支中，成为现代数学的基础。瑞士数学家欧拉（1707——1787）最早使用了表示两个非空集之间的关系的图，现称欧拉图。英国数学家维恩最早使用了另一种图即可以用于表示任意的几个集合（不论它们之间的关系如何，都可以画成同一样式），又称“维恩图”，用维恩图表示集合，有助于探索某些数学题的解决思路。
布鲁纳曾说，掌握基本的数学思想方法能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法不但对学生学习具有普遍的指导意义，而且有利于学生形成科学的思维方式和思维习惯。
集合思想包括概念、子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一一对应思想等，作为数学思想方法的一种，在教学中是具有很大的指导意义的。那么，在小学数学教学中我们应该如何应用集合思想进行教学活动呢?
一、集合概念在小学数学教学中的应用
集合思想的概念在教学中是不必向学生作解释的，教师主要指导学生看懂集合图的意思，会根据集合图来解题或者帮助解题。图形本身直观地应用了集合的表示方法——图示法，因此在小学低年级中运用这个方法对于教学是很有帮助的。
在认数教学中，教师要结合各种集合图，可以是选用书本上的，也可以是选用一些生活中常见的事物自己画。同时还可以反过来给学生一个数字，让学生画集合图，这样既可以让学生开动脑筋发挥自己的想象，也可以让学生更了解集合中的元素与基数概念的联系。
在日常教学中，教师还要让学生理解一些用来描述集合的常用术语，如“一些”、“一堆”、“一组”、“一群”等。比如说，在小学数学教材北师大版一年级（上册）的第四单元分类中，就出现了这么一张图，让学生观察，要求把玩具放一堆，文具放一堆,服装鞋帽放一堆,这种把具有同一种属性的东西放在一起，这就是集合的整体概念。
在认识0-10的十一个数字中，每个数字都有一张相应的集合图，也就是告诉学生，一个集合中有几个元素就用“几”来表示。如北师大版一年级（上册）第4页找一找的活动中“1”可以表示图里的一座房子；“2”可以表示图里的两个人。这就很形象的把集合中的元素与基数的概念有机的联系起来。
二、子集、交集、并集、差集、空集思想在小学数学教学中的应用
1、子集思想在小学数学教学中的应用
教学数的大小这一问题时，就可以应用子集思想。如北师大版二年级(下册)第36页试一试中,给出一些数，组成一个数的集合，元素有387、99、809、 345、1725、4300等。同时给出要求，先把给出的数分类，再比较大小。这把数分类就相当于是把整个数的集合中的元素，按要求分别把他们放入三个子集合中。（如下图） 对于这类问题，应用集合思想就能让学生非常直观、容易地理解。
2、 交集思想在小学数学教学中的应用
如有这么一道应用题：一个班有48人。班主任在班会上问：“谁做完了数学作业？”这时有42人举手。又问：“谁做完了语文作业？”这时有37人举手。最后又问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。请问：这个班语文、数学作业都做完的有几人？
一看这道题就会想到要用维恩图来算比较简单。画一个长方形表示全集，完成语文作业的学生集合（A），完成数学作业的学生集合（B），A、B有相交部分
因为A内的两部分表示人数和就是完成语文作业的人数（37人），所以A外、B内的那部分表示的人数为48-37=11（人），者是 完成了数学作业但没有完成语文作业的人数。因此，语文、数学两种作业都完成了的人数是42-11=31人。
教学公约数、公倍数这一内容时，也通常应用交集思想，如 ：
12的约数 18的约数
3、并集思想在小学数学教学中的应用
在小学一年级的教材中，并集被用于说明加法的意义，如北师大版一年级（上册）第22页解决“有几只铅笔”这个问题，一幅图中小朋友左手里拿了两只铅笔，右手里拿了三只铅笔，另一幅中小朋友把两只手合在一起，就是把左手和右手中的铅笔并在一起。2＋3＝5（只）
还有北师大版一年级(上册)第68页11～20各数的认识中，对于“11”,先把10根小棒捆成一捆，组成十位上的“1”，然后再数1根组成“11”了。同理在教学12、13、14、15等数时，也都应该采用并集思想。
又如，北师大版一年级(上册)第72页:9＋5＝? 教材中显示把5根小棒分成1根和4根,把1根和9根结合在一起，组成十根捆在一起，作为十位上的“1”，这也运用了并集思想。
4、差集思想在小学数学教学中的应用
在小学一年级的教材中，差集被用于说明减法的意义。如北师大版一年级（上册）第26页“摘果子”树上原有5个苹果，被小朋友摘走2个，就剩下树上（集合）的3个苹果（元素）：5－2＝3（个）
又比如说还是本页的“做一做”：图中总共有5个圆圈，其中4个圆圈用线划去，表示去掉的，就剩下5－4＝1（个）了。在教材中一般用线划去或虚线圈起来的都是要剪掉的部分.
5、空集思想在小学数学教学中的应用
空集表示这个集合没有元素。空集思想的应用主要出现在教学“0”的时候，如北师大版一年集（上册）第8页“小猫钓鱼”，每只小猫的袋子表示集合，袋子里的鱼表示元素。第一幅图里，袋子里有三条鱼，该集合里有3个元素；第二幅图里，袋子里有两条鱼，该集合里有2个元素；第三幅图里，袋子里有一条鱼，该集合里有1个元素；第四幅图里，袋子没有鱼，该集合中没有元素，也就是空集。
三、一一对应思想在小学数学教学中的应用
一一对应思想在教材中体现的较多，在比较两个集合所包含的元素的多少时就一定得用建立一一对应关系的方法来解决，同时，“一一对应”思想也是现代函数思想的基础。一一对应思想在小学数学教材中主要以两种形式呈现：第一种是比多少，第二种是由一个集合经过对应法则得到另一个集合。
在教学比多少时，教师首先要把集合中的元素一一的排列起来。如北师大版一年级（上册）第43页：
比 多
比 少
在教学第二种情况，一个集合经过对应法则得到另一个集合时，教师要向学生解释清楚对应法则是对已给出的集合中的每一个元素都起作用的。
如人教版三年级（下册）第23页
这类算式与算式的配对，也正是一一对应思想的应用。
数学教育学家波利亚说过：“数学教师的首要责任是尽其一切可能，来发展学生解决问题的能力。”教师在问题探索的教学中不能就题论题，授之以“渔”远比授之以“鱼”来的重要。这个“渔”就是指隐含于数学问题探索中的数学思想方法。学生只有逐步形成用数学思想方法指导思维活动，才会在遇到其它问题时胸有成竹，从容对待。新课标也指出：结合有关知识的教学，适当的渗透集合、函数等数学思想方法，以加深对基础知识的理解。作为数学教师，在教学中应当大胆地应用集合思想，让学生在学习中获得对集合思想的感性认识，并逐步形成运用集合思想的观念。

Ⅳ 小学数学学集合吗

有学习简单的集合，比如小学数学中关于因数和最大公因数就是集合中关于并集的知识。只是小学阶段是很简单的教学点

Ⅳ 小学数学中的交集怎么解释

交集就是把这些集合里面相同的东西取出来组成一个新的集合，就叫交集。

如果，A是了个集合，B是一个集合，C是A和B的共同部分，C就是A和B的交集。

Ⅵ 小学三年级数学中集合定义该怎样表述

数分为实数R和虚数I.那么R不属于I且R∩I=Φ.那么可能就把这个定义为：如果两个集专合没有交集.以一个集合为全集属.那么另一个集合的补集就是它本身.例如{1}∩{3}=Φ.以{1}为全集.{3}的补集为{3}.

Ⅶ 小学生学习数学的重要转折点是什么

一、让小学生学会“分类思考法”

分类既是一种数学思考方法，又是自然科学及社会科学研究中的基本逻辑方法。数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如对自然数的分类，若按能否被2整除可分为奇数和偶数，若按约数的个数分则可分为质数、合数和1。又如三角形既可按角分，也可按边分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性。数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。例如把1、2、3……20这二十个自然数分类。

二、让小学生学会“符号思考法”

西方较早地在数学研究中引进了符号，十六世纪数学家韦达对数学符号作了很多改进，并且第一个有意识地系统地用字母表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学研究的重大拓展，奠定了符号代数的基础，后来大数学家笛卡儿对韦达使用的字母又作了改进。用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思考方法。在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息，如乘法分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c，这里的a、b、c不仅可以表示1、2、3，也可以表示4、5、6、7……长方形的面积计算公式s＝a×b，不管世界上有多少个不同的长方形，都可用它计算出来。又如在“有余数的除法”教学中，最后出现一道思考题：“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室。你能知道第24个气球是什么颜色的吗？解决这个问题，学生可以有多种方法。如，用书写简便的字母a、b、c分别表示红、黄、蓝气球，则按照题意可以转化成如下符号形式：aaabbc aaabbc aaabbc aaabbc ……从而可以直观地找出气球的排列规律，并推出第24个气球是蓝色的。上例所分析的这些都是符号思想的具体体现，它们将所有的数据实例集为一体，把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用，正如华罗庚所说的“数学的特点是抽象，正因为如此，用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性”。

三、让小学生学会“类比思考法”

类比方法具有启发思路、提供线索、触类旁通的作用。如教学比的基本性质，需要引导学生把它与分数的基本性质、商不变的性质进行横向类比沟通。又如讲平行四边形时，先复习三角形的有关知识，然后以三角形为基础，把平行四边形与三角形进行类比，建立平行四边形诸如边、顶点、角、底、高等概念体系，使学生不仅在类比的情境中建立新概念，发现新问题，而且学到研究事物的方法。在解题教学中，当学生面对一个比较生疏或比较复杂的问题而一筹莫展时，启发他们去寻找另一个比较熟悉或比较简单的问题作为类比对象。有时原问题与类比对象的解决途径和方法比较类似;有时类比对象的解决途径和方法提供了一种解决类似问题的模式或程序。因此，通过类比启发，可获得原问题的解决途径和方法。如教完“工作问题”后，出示这样一道题：甲乙两辆汽车同时从两地相对开出，经过6小时相遇。己知甲车行完全程要10小时，乙车行完全程要几小时?有意引导学生发现“行程问题”与“工作问题”的相似之处，在鼓励学生观察、联想、类比后，学生茅塞顿开，恍然大悟，思维得到了启迪，解题思路得到了沟通，尝试了数学发现的快乐，也使他们的认识产生了由感性到理性的升华。

四、让小学生学会“集合思考法”

集合思想是近代数学的最基本思想，许多重要的数学分支，如数理逻辑、实变函数、概率统计等都建立在集合理论的基础上。小学数学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合的思想。如在数的认识时出现韦恩图，在讲述公约数和公倍数时孕伏了交集的思想方法。把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法,继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所体现。在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。如用圆圈图（韦恩图）向学生直观的渗透集合概念。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。

五、让小学生学会“数形结合思考法”

数与形是现实世界中客观事物的抽象与反映，是数学的两大支柱。由数想形，以形辅数，数形结合，可以帮助学生从不同侧面认识和理解数学知识，是帮助学生正确理解题意，找到解决问题的方法而进行思维过渡的中间环节。表现为:(1)以形辅数，对抽象的数学问题赋予直观图形意义，即通过线段图、树形图，或集合图来帮助学生理解数量关系，使复杂问题明朗化。(2)以数助形，对直观图形赋予数的意义，要求根据直观图形抽象为数的问题。如较复杂的平面或空间图形问题，可运用数量关系、公式、法则、计算等手段，使之转化为简单的数量关系来处理。

六、让小学生学会“转化思考法”

转化是解决问题的一种最基本的思想方法。数学教学的任务之一是使学生学会怎样去化繁就简、化难为易、化陌生为熟悉、化未知为己知。如整数、小数、分数、百分数可以相互转化;几何形体中的等积转化，都是转化思想的具体体现。教学时通过数的计算，使学生了解加与减、乘与除可以相互转化，并掌握转化的方法;通过正归一的应用题用反归一的方法来解答，形成矛盾在一定条件下可以相互转化的观点;通过方程的教学，使学生了解方程的同解变化，理解未知转化为已知，繁杂问题转化为简单问题是处理问题的一种策略。

数学解题过程的本质就是运用数学体系内部各对象间、数学与其他学科间的内在联系，不断转化问题的已知条件和求解目标，发现已知条件与求解目标间的内在联系，实现己知探索未知的目标。如买4双球鞋与12双布鞋的价钱相等，买2双球鞋与3双布鞋要付29.7元，球鞋和布鞋每双各多少元?由已知条件可以推知，2双球鞋价等于6双布鞋价，用6双布鞋“替代”2双球鞋，把“买2双球鞋和3双布鞋要付29.7元”转化为“买6双布鞋和3双布鞋要付29.7元”，问题也就迎刃而解了。

七、让小学生学会“归纳思考法”

归纳是由特殊到一般的思维方法，也是人类认识世界的基本方法和普遍规律之一。教材中提供的归纳材料很多，第一类是概念、法则、性质的归纳，大多采取“特殊实例展示→本质属性抽象→一般事物的推广”的方式给出归纳过程。如直径1厘米的圆周长约3.14厘米，直径2厘米的圆周长约是6.28厘米，直径3厘米的圆周长约是9.42厘米，……从中可以发现规律，一个圆的周长是直径的3倍多一些。第二类是解题方法的归纳，我们不但要重视解题中间过程的归纳，还应重视解题开始和解题之后的归纳。解题开始时的归纳可以确定解题方向，明确解题思路;解题之后的归纳可以总结解题经验。如通过对几道求平均数应用题的分析(为思维定向)、解答，总结出数量关系:总数量÷份数＝平均数。第三类是用于指导解题的归纳猜想，即从问题出发，研究其特殊情形，通过假设、尝试、推理，归纳出结论。如把一个边长为a厘米的正方形框架，改成周长不变的长方形框架，面积比原来减少25平方厘米，那么长方形的长比正方形的边长长多少厘米?该题没有告诉a的值，可假设a=10厘米，则S=100平方厘米，如果长方形的长比正方形边长长1厘米，则长方形面积就是11x9=99(平方厘米)，比原面积少1平方厘米(1x1平方厘米);如果长方形的长比正方形的边长长2厘米，则长方形面积为12x8=96(平方厘米)，比原面积减少4平方厘米(2x2平方厘米)。由此可以归纳出:如果面积减少25平方厘米(5x5平方厘米)，则长方形的长比正方形的边长长5厘米。

八、让小学生学会“对应思考法”

对应是人们对两个集合元素之间的联系的一种思想方法。小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。 如直线（数轴）上的点与表示具体大小的数的一一对应，又如分数应用题中一个具体数量与一个抽象分数（分率）的对应等。对应思想也是解答一般应用题的常见方法。对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。如一年级上册教材中，分别将小兔和砖头、小猪和木头、小白兔和萝卜、苹果和梨一一对应后，进行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。

九、让小学生学会“函数思考法”

恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。在小学数学教学中，教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想。函数思想在人教版一年级上册教材中就有渗透。如让学生观察《20以内进位加法表》，发现加数的变化引起的和的变化的规律等，都较好的渗透了函数的思想，其目的都在于帮助学生形成初步的函数概念。又如六年级正反比例也具有函数的思想方法。

十、让小学生学会“统计思考法”

数据处理方法随着现代化的发展进程，越来越深入到社会生活的各个领域。小学数学中的统计图表是一些最基本的统计方法。求平均数应用题就是体现出数据处理的思想方法。数学课程标准在学习内容制订中就十分强调要发展学生的统计观念。北师大课改实验教材一、二年级每一册都专门安排了统计的学习内容。例如王欣前三次数学考试分别得90分、89分、94分，要使得四次考试平均分为93分，她第四次应考多少分？

菁菁校园成员真诚为您解答，希望采纳。

Ⅷ 小学全部数学思想方法

符号思想

用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。符号思想是将所有的数据实例集为一体，把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从具体到表象再抽象符号化的过程。

用符号来体现的数学语言是世界性语言，是一个人数学素养的综合反映。

在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息，如乘法分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c；又如在“有余数的除法”教学中，最后出现一道思考题：“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室。你能知道第24个气球是什么颜色的吗？解决这个问题可以用书写简便的字母a、b、c分别表示红、黄、蓝气球，则按照题意可以转化成如下符号形式：aaabbc aaabbc aaabbc……从而可以直观地找出气球的排列规律并推出第24个气球是蓝色的。这是符号思想的具体体现。
化归思想

化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求解，化归为乙问题的求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解。一般是指不可逆向的“变换”。它的基本形式有：化难为易，化生为熟，化繁为简，化整为零，化曲为直等。如求组合图形的面积时先把组合图形割补成学过的简单图形，然后计算出各部分面积的和或差，均能使学生体会化归法的本质。
分解思想

分解思想就是先把原问题分解为若干便于解决的子问题，分解出若干便于求解的范围，分解出若干便于层层推进的解题步骤，然后逐个加以解决并达到最后顺利解决原问题的目的的一种思想方法。如在五年级《解决问题的策略》教学中“倒退着想”的解题策略就体现了这种思想。
转换思想
转换思想是一种解决数学问题的重要策略，是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，这里的变换是可逆的双向变换。在解决数学问题时,转换是一种非常有用的策略。 对问题进行转换时,既可转换已知条件,也可转换问题的结论;转换可以是等价的,也可以是不等价的,用转换思想来解决数学问题,转换仅是第一步,第二步要对转换后的问题进行求解,第三步要将转换后问题的解答反演成问题的解答。如果采用等价关系作转换,可直接求出解而省略反演这一步。

如计算：2.8÷113÷17÷0.7，直接计算比较麻烦，而分数的乘除运算比小数方便，故可将原问题转换为：28/10×3/4×7/1×10/7，这样，利用约分就能很快获得本题的解
分类思想

分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按因数的个数分素数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理的分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构
归纳思想

数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式，这就是著名的结构归纳法
类比思想

数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁，从而可以激发起学生的创造力，正如数学家波利亚所说：“我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉。”

如由加法交换律a＋b＝b＋a的学习迁移到乘法分配律a×b=b×a的学习

又如长方形的面积公式为长×宽＝a×b，通过类比，三角形的面积公式也可以理解为长（底）×宽（高）÷2＝a×b（h）÷2。类似的，圆柱体体积公式为底面积×高，那么锥体的体积可以理解为底面积×高÷3
假设思想

假设思想是一种常用的推测性的数学思考方法.利用这种思想可以解一些填空题、判断题和应用题.有些题目数量关系比较隐蔽，难以建立数量之间的联系，或数量关系抽象，无从下手.可先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使得要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
比较思想

人类对一切事物的认识，都是建筑在比较的基础上，或同中辨异，或异中求同。俄国教育家乌申斯基说过：“比较是一切理解和一切思维的基础。”小学生学习数学知识，也同样需要通过对数学材料的比较，理解新知的本质意义，掌握知识间的联系和区别。

在教学分数应用题中，教师要善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题的途径。
极限思想

事物是从量变到质变，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。

教学“圆的面积和周长”中，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式，还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。

战国时代的《庄子·天下》篇中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”充满了极限思想。古代杰出的数学家刘徽的“割圆术”就是利用极限思想来求得圆的周长的，他首先作圆内接正多边形，当多边形的边数越多时，多边形的周长就越接近于圆的周长。刘徽总结出：“割之弥细，所失弥少。割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣。”正是用这种极限的思想，刘徽求出了π，即“徽率”。

现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透:在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想。在循环小数这一部分内容，在教学 1 ÷ 3 = 0。333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的。在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。
演绎思想：

演绎也是理智的活动，但是和直观不同，它们不是理智的单纯活动，必须先假定了某些真理（或定义)之后，然后再凭借这些定义推出一些结论。譬如：我们知道了三角形的定义和定理之后，可以推出一个三角形内角的总和等于两直角之和。所以直观的功用是在于提供科学和哲学的最新原则。而演绎则是应用这些原则来建立一些定理和命题。演绎并不要求像直观所拥有的那种直接呈现出来的证明，它的确实性在某种程度上宁可说是记忆赋予它的。它通过一系列的间接论证就能得出结论，这就像我们握着一根长链条的第一节就可以认识它的最后一节一样。

这就是说，直观是发明的基本原则，演绎是导致最基本的结论。不过也有哲学家认为演绎是有缺陷的，因为由同一个 原则往往会演绎出不同的结论，所以应当有另一个方法来纠正它。这个纠正的方法就是经验，即所谓的诉诸事实。总之，直观就是找到最简单、最无可怀疑、最无须辩护的人类知识元素，即发现最简单和最可靠的观念或原理。然后对它们进行演绎推理，导出全部确实可靠的解决方案。

例如数学定理证明就是一种演绎推理
模型思想

是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。

培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。

数学模型方法不仅是处理纯数学问题的一种经典方法，而且也是处理自然科学、社会科学、工程技术和社会生产中各种实际问题的一般数学方法。用数学方法解决某些实际问题，通常先把实际问题抽象成数学模型。所谓数学模型，是指从整体上描述现实原型的特性、关系及规律的一种数学方程式。按广义的解释，从一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种数学方程以及由公式系列构成的算法系统都称之为模型 。但按狭义的解释，只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，才叫数学模型。比如根据具体问题中的数量关系，建立数学模型，列出方程进行求解。
对应思想:

对应指的是一个系统中的某一项在性质、作用、位置上跟另一系统中的某一项相当。对应思想可理解为两个集合元素之间的联系的一种思想方法。在小学数学教学中渗透对应思想，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。

“对应”的思想由来已久，比如我们将一支铅笔、一本书、一栋房子对应一个抽象的数“1”，将两只眼睛、一对耳环、双胞胎对应一个抽象的数“2”；随着学习的深入，我们还将“对应”扩展到对应一种形式，对应一种关系，等等。

再如：数轴上的点与实数之间的一一对应，函数与其图象之间的对应.另外,在“多和少”这一课中, 一个茶杯盖与每一个茶杯对应，直观看到“茶杯与茶杯盖相比，一个对一个，一个也不多，一个也不少”，我们就说茶杯与茶杯盖同样多。使学生初步接触一一对应的思想，初步感知两个集合的各元素之间能一一对应，它们的数量就是“同样多”. “对应”的思想在今后的学习中将会发挥越来越大的作用。
集合思想:

把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.通俗地说就是:把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合

集合思想的特征:

（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 就是说按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可

（2）互异性：集合中的元素一定是不同的. 即集合中的元素没有重复

（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.

根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：

（1）把不含任何元素的集合叫做空集。

（2）含有有限个元素的集合叫做有限集。

（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集。

集合的表现形式：列举法；框图法；描述法。

比如:能被2整除的数为一个集合.
数形结合思想：

就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使问题的数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。数形结合的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,如四年级数学下册P60分数的基本性质就是借助图形的生动和直观来阐明分数中分子和分母相互变化的关系；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。

在小学教学中，它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从图开的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化难来易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决。通常是将数量关系转化为线段图，这是基本的、自然的手段。如一年级认数时数轴与对应点之间的关系.

对于某些题，如线段图不能清晰地显示其数量关系，则可以通过对线段图的分析、改造、设计、构造出能清晰显示其数量关系的几何图形。如六年级数学下册P72试一试,计算:1/2+1/4+1/8+1/16,可以通过正方形图形来解决.

在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。
统计思想

在小学数学中增加统计与概率课程的意义在于形成合理解读数据的能力、提高科学认识客观世界的能力、发展在现实情境中解决实际问题的能力。统计与概率初步知识的构成主要有如下一些基本内容：第一，知道数据在描述、分析、预测以及解决一些日常生活中的现象与问题的价值；第二，学会一些简单的数据收集、整理、分析、处理和利用的基本的能力；第三，会解读和制作一些简单的统计图表；第四，认识一些随机现象，并能运用适当的方法来预测这些随机现象发生的可能性。
系统思想

系统思想是由若干想到关联、想到作用的要素（或成分）构成具有特定功能的有机整体。系统思想的方法便是要求人们从系统要素相互关系的观点，从系统与要素之间、要素与要素之间，以及系统与外部环境之间的相互关联和相互作用中考察对象，以得出研究和解决问题的最佳方案。

系统是由相互联系，相互依赖，相互制约和相互作用的若干事物和过程所组成的一个具有整体功能和综合行为的统一体；要素是构成系统的基本单位，系统内各要素之间是相互联系，相互影响的有机整体，如果一个要素发生变化，其他要素也会相应变化。

例如：应用题教学中的“购物问题”。物品的“单价”、“数量”和“总价”这三个要素就组成了一个系统。数量不变，单价提高，总价变大；单价不变，数量增加，总价变大；单价不变，总价增加，数量变多。“单价、数量、总价”这三个要素之间具有下列关系：

单价×数量=总价；总价÷单价=数量；总价÷数量= 单价

把几个概念通过联系来整体把握，由具体到抽象，再由抽象到具体，发现其规律，更好地理解和掌握概念及其相互关系。这些要素不是孤立的、零散的，而是有联系的，有影响的，在教学过程中要引导学生学会理解概念，找到联系，发现规律，只有这样才能更好地掌握所学知识，做到融会贯通，事半功倍。
三、几点说明

中国数学科学方法论研究交流中心主任周春荔教授在其习作中说：

习惯上人们常用数学思想来指称某些具有重要意义、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果。

数学思想和数学方法到底有什么区别？一般来说，数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴，而数学方法则是解决数学问题的手段，具有“行为规则”的意义和一定的可操作性，同一个数学成果，当用它去解决别的问题时，就称之为方法；当论及它在数学体系中的价值和意义时，则称之为思想。

要将数学思想和数学方法严格区分开来是困难的，因此，人们常常对这两者不加区分，而统称为数学思想方法，这样会显得更为方便。