㈠ 小学全部数学思想方法
符号思想
用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。符号思想是将所有的数据实例集为一体，把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从具体到表象再抽象符号化的过程。
用符号来体现的数学语言是世界性语言，是一个人数学素养的综合反映。
在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息，如乘法分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c；又如在“有余数的除法”教学中，最后出现一道思考题：“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室。你能知道第24个气球是什么颜色的吗？解决这个问题可以用书写简便的字母a、b、c分别表示红、黄、蓝气球，则按照题意可以转化成如下符号形式：aaabbc aaabbc aaabbc……从而可以直观地找出气球的排列规律并推出第24个气球是蓝色的。这是符号思想的具体体现。
化归思想
化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求解，化归为乙问题的求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解。一般是指不可逆向的“变换”。它的基本形式有：化难为易，化生为熟，化繁为简，化整为零，化曲为直等。如求组合图形的面积时先把组合图形割补成学过的简单图形，然后计算出各部分面积的和或差，均能使学生体会化归法的本质。
分解思想
分解思想就是先把原问题分解为若干便于解决的子问题，分解出若干便于求解的范围，分解出若干便于层层推进的解题步骤，然后逐个加以解决并达到最后顺利解决原问题的目的的一种思想方法。如在五年级《解决问题的策略》教学中“倒退着想”的解题策略就体现了这种思想。
转换思想
转换思想是一种解决数学问题的重要策略，是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，这里的变换是可逆的双向变换。在解决数学问题时,转换是一种非常有用的策略。 对问题进行转换时,既可转换已知条件,也可转换问题的结论;转换可以是等价的,也可以是不等价的,用转换思想来解决数学问题,转换仅是第一步,第二步要对转换后的问题进行求解,第三步要将转换后问题的解答反演成问题的解答。如果采用等价关系作转换,可直接求出解而省略反演这一步。
如计算：2.8÷113÷17÷0.7，直接计算比较麻烦，而分数的乘除运算比小数方便，故可将原问题转换为：28/10×3/4×7/1×10/7，这样，利用约分就能很快获得本题的解
分类思想
分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按因数的个数分素数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理的分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构
归纳思想
数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式，这就是著名的结构归纳法
类比思想
数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁，从而可以激发起学生的创造力，正如数学家波利亚所说：“我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉。”
如由加法交换律a＋b＝b＋a的学习迁移到乘法分配律a×b=b×a的学习
又如长方形的面积公式为长×宽＝a×b，通过类比，三角形的面积公式也可以理解为长（底）×宽（高）÷2＝a×b（h）÷2。类似的，圆柱体体积公式为底面积×高，那么锥体的体积可以理解为底面积×高÷3
假设思想
假设思想是一种常用的推测性的数学思考方法.利用这种思想可以解一些填空题、判断题和应用题.有些题目数量关系比较隐蔽，难以建立数量之间的联系，或数量关系抽象，无从下手.可先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使得要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
比较思想
人类对一切事物的认识，都是建筑在比较的基础上，或同中辨异，或异中求同。俄国教育家乌申斯基说过：“比较是一切理解和一切思维的基础。”小学生学习数学知识，也同样需要通过对数学材料的比较，理解新知的本质意义，掌握知识间的联系和区别。
在教学分数应用题中，教师要善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题的途径。
极限思想
事物是从量变到质变，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。
教学“圆的面积和周长”中，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式，还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。
战国时代的《庄子·天下》篇中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”充满了极限思想。古代杰出的数学家刘徽的“割圆术”就是利用极限思想来求得圆的周长的，他首先作圆内接正多边形，当多边形的边数越多时，多边形的周长就越接近于圆的周长。刘徽总结出：“割之弥细，所失弥少。割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣。”正是用这种极限的思想，刘徽求出了π，即“徽率”。
现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透:在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想。在循环小数这一部分内容，在教学 1 ÷ 3 = 0。333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的。在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。
演绎思想：
演绎也是理智的活动，但是和直观不同，它们不是理智的单纯活动，必须先假定了某些真理（或定义)之后，然后再凭借这些定义推出一些结论。譬如：我们知道了三角形的定义和定理之后，可以推出一个三角形内角的总和等于两直角之和。所以直观的功用是在于提供科学和哲学的最新原则。而演绎则是应用这些原则来建立一些定理和命题。演绎并不要求像直观所拥有的那种直接呈现出来的证明，它的确实性在某种程度上宁可说是记忆赋予它的。它通过一系列的间接论证就能得出结论，这就像我们握着一根长链条的第一节就可以认识它的最后一节一样。
这就是说，直观是发明的基本原则，演绎是导致最基本的结论。不过也有哲学家认为演绎是有缺陷的，因为由同一个 原则往往会演绎出不同的结论，所以应当有另一个方法来纠正它。这个纠正的方法就是经验，即所谓的诉诸事实。总之，直观就是找到最简单、最无可怀疑、最无须辩护的人类知识元素，即发现最简单和最可靠的观念或原理。然后对它们进行演绎推理，导出全部确实可靠的解决方案。
例如数学定理证明就是一种演绎推理
模型思想
是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。
培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。
数学模型方法不仅是处理纯数学问题的一种经典方法，而且也是处理自然科学、社会科学、工程技术和社会生产中各种实际问题的一般数学方法。用数学方法解决某些实际问题，通常先把实际问题抽象成数学模型。所谓数学模型，是指从整体上描述现实原型的特性、关系及规律的一种数学方程式。按广义的解释，从一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种数学方程以及由公式系列构成的算法系统都称之为模型 。但按狭义的解释，只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，才叫数学模型。比如根据具体问题中的数量关系，建立数学模型，列出方程进行求解。
对应思想:
对应指的是一个系统中的某一项在性质、作用、位置上跟另一系统中的某一项相当。对应思想可理解为两个集合元素之间的联系的一种思想方法。在小学数学教学中渗透对应思想，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。
“对应”的思想由来已久，比如我们将一支铅笔、一本书、一栋房子对应一个抽象的数“1”，将两只眼睛、一对耳环、双胞胎对应一个抽象的数“2”；随着学习的深入，我们还将“对应”扩展到对应一种形式，对应一种关系，等等。
再如：数轴上的点与实数之间的一一对应，函数与其图象之间的对应.另外,在“多和少”这一课中, 一个茶杯盖与每一个茶杯对应，直观看到“茶杯与茶杯盖相比，一个对一个，一个也不多，一个也不少”，我们就说茶杯与茶杯盖同样多。使学生初步接触一一对应的思想，初步感知两个集合的各元素之间能一一对应，它们的数量就是“同样多”. “对应”的思想在今后的学习中将会发挥越来越大的作用。
集合思想:
把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.通俗地说就是:把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合
集合思想的特征:
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 就是说按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的. 即集合中的元素没有重复
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集。
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集。
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集。
集合的表现形式：列举法；框图法；描述法。
比如:能被2整除的数为一个集合.
数形结合思想：
就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使问题的数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。数形结合的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,如四年级数学下册P60分数的基本性质就是借助图形的生动和直观来阐明分数中分子和分母相互变化的关系；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。
在小学教学中，它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从图开的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化难来易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决。通常是将数量关系转化为线段图，这是基本的、自然的手段。如一年级认数时数轴与对应点之间的关系.
对于某些题，如线段图不能清晰地显示其数量关系，则可以通过对线段图的分析、改造、设计、构造出能清晰显示其数量关系的几何图形。如六年级数学下册P72试一试,计算:1/2+1/4+1/8+1/16,可以通过正方形图形来解决.
在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。
统计思想
在小学数学中增加统计与概率课程的意义在于形成合理解读数据的能力、提高科学认识客观世界的能力、发展在现实情境中解决实际问题的能力。统计与概率初步知识的构成主要有如下一些基本内容：第一，知道数据在描述、分析、预测以及解决一些日常生活中的现象与问题的价值；第二，学会一些简单的数据收集、整理、分析、处理和利用的基本的能力；第三，会解读和制作一些简单的统计图表；第四，认识一些随机现象，并能运用适当的方法来预测这些随机现象发生的可能性。
系统思想
系统思想是由若干想到关联、想到作用的要素（或成分）构成具有特定功能的有机整体。系统思想的方法便是要求人们从系统要素相互关系的观点，从系统与要素之间、要素与要素之间，以及系统与外部环境之间的相互关联和相互作用中考察对象，以得出研究和解决问题的最佳方案。
系统是由相互联系，相互依赖，相互制约和相互作用的若干事物和过程所组成的一个具有整体功能和综合行为的统一体；要素是构成系统的基本单位，系统内各要素之间是相互联系，相互影响的有机整体，如果一个要素发生变化，其他要素也会相应变化。
例如：应用题教学中的“购物问题”。物品的“单价”、“数量”和“总价”这三个要素就组成了一个系统。数量不变，单价提高，总价变大；单价不变，数量增加，总价变大；单价不变，总价增加，数量变多。“单价、数量、总价”这三个要素之间具有下列关系：
单价×数量=总价；总价÷单价=数量；总价÷数量= 单价
把几个概念通过联系来整体把握，由具体到抽象，再由抽象到具体，发现其规律，更好地理解和掌握概念及其相互关系。这些要素不是孤立的、零散的，而是有联系的，有影响的，在教学过程中要引导学生学会理解概念，找到联系，发现规律，只有这样才能更好地掌握所学知识，做到融会贯通，事半功倍。
三、几点说明
中国数学科学方法论研究交流中心主任周春荔教授在其习作中说：
习惯上人们常用数学思想来指称某些具有重要意义、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果。
数学思想和数学方法到底有什么区别？一般来说，数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴，而数学方法则是解决数学问题的手段，具有“行为规则”的意义和一定的可操作性，同一个数学成果，当用它去解决别的问题时，就称之为方法；当论及它在数学体系中的价值和意义时，则称之为思想。
要将数学思想和数学方法严格区分开来是困难的，因此，人们常常对这两者不加区分，而统称为数学思想方法，这样会显得更为方便。
㈡ 什么是数学中的集合思想
集合思想包括概念、子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一一对版应思想等。
集合是近代数学中权的一个重要概念。集合思想是现代数学思想向小学数学渗透的重要标志，在解决某些数学问题时，若是运用集合思想，可以使问题解决得更简单明了。集合论的创始人是德国的数学家康托（1845——1918），其主要思想方法可归结为三个原则，即概括原则、外延原则、一一对应原则。自集合论创立以来，它的概念、思想和方法已经渗透到现代数学的各个分支中，成为现代数学的基础。瑞士数学家欧拉（1707——1787）最早使用了表示两个非空集之间的关系的图，现称欧拉图。英国数学家维恩最早使用了另一种图即可以用于表示任意的几个集合（不论它们之间的关系如何，都可以画成同一样式），又称“维恩图”，用维恩图表示集合，有助于探索某些数学题的解决思路。
㈢ 浅谈小学数学如何渗透数学思想
一、“符号思想”的渗透。
“符号思想”是数学的基本思想。数学作为一种学科语言，是描述世界的工具，而符号能使数学研究对象更加具体、形象，能够简明地表示出事物的本质特征与规律。符号的使用在很大程度上决定着数学的进展情况，同时它具有培养人们高度抽象思维的能力。比如：小学数学书中的“简易方程”这一部分内容向学生提出用字母表示数，它的实质是一种抽象化。其目的是为了更深刻地探索、揭示数学规律，达到更准确、更简洁地表达数学规律，在较大范围内肯定数学规律的正确性。加法的交换律用a+b=b+a，圆面积用S=πr2表示等等。此外,用方程解法来解答应用题，解法的本身也蕴含着符号思想，它主要体现在如下几个方面：（1）代数假设，用字母代替未知数，与已知数平等地参与运算；（2）代数翻译，把题中自然语言表述的已知条件，译成用符号化语言表述的方程。（3）解代数方程。把字母看成已知数，并进行四则运算，进而达到求解的目的。
可见，数学符号是贯穿于数学全部的支柱，数学符号凝结了特有的简洁性、抽象性和概括性，所以相对来说难以掌握和使用。作为数学教师，深入了解数学符号的思想，研究数学符号的教学，对促进数学教学、提高其教学质量具有重要意义。
二、“化归思想”的渗透。
“化归思想”，也称“转化思想”，它是小学数学中最关键的数学思想之一，它往往根据学生已有的经验,通过观察、推想、类比等手段，把一个实际问题通过某种转化,归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题,直至转化为已经解决或容易解决的问题。其基本形式有化生为熟、化难为易、化繁为简、化整为零、化未知为已知、化一般为特殊、化抽象为具体等。给学生渗透这种思想，有利于提高学生的逻辑思维能力。
比如：在教学平面图形的面积计算中，就以化归思想、转化思想等为理论依据，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善了学生对面积计算的认知结构。小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法；异分母分数加减法化归为同分母分数加减法；异分母分数比较大小通过“通分”化归为同分母分数比较大小等等。这些知识的学习都渗透着化归思想。
三、“数形结合”思想的渗透。
“数形结合”，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，“数形结合”的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。在小学教学中，它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从直观图形的特征到发现数量之间存在的联系，以达到化抽象为具体、化隐为显的目的，使问题简单、快捷地得以解决。
它可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了“数形结合”的思想。
四、“极限思想”的渗透
“极限思想”是一种重要的数学思想方法。灵活的借助极限思想，可以使某些数学问题化难为易，避免一些复杂运算，探究出解题方向或转化途径。在进行“圆的面积计算公式”和“圆柱的体积计算公式”的推导过程中，均采用“化圆为方”、“变曲为直”极限分割思路。在“观察有限分割”的基础上，“想象无限细分”，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的终极状态。这样不仅使学生掌握了圆的面积和圆柱体的体积的计算公式，而且非常自然地在“曲”与“直”的矛盾转化中萌发了无限逼近的“极限思想”。
此外，现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。 在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；在循环小数这一部分内容中，1 ÷ 3 = 0.33…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的，而0.99……的极限就等于1；在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。
五、“集合思想”的渗透。
四边形
“集合思想” 是人类早期就有的思想方法，它将一组相关联的对象放在一起，作为讨论的范围，继而把一定程度上抽象的思维对象，有条理的列举出来，让人一目了然。例如：教学平行四边形、长方形、正方形之后，使学生明确长方形是一种特殊的平行四边形，正方形是一种特殊的长方形，用右图来表示更形象。为加深学生对这集合图的理解，再举例说明：我们全校同学好比这个最大的圈，我们年级同学是全校的一部分，我们班的同学又是全年级的一部分，第一小组的同学是全班的一小部分，也就是里面的最小一个小圈。要让学生真正理解集合图的含义，并学会应用。集合的数学思想方法在小学1～6年级各阶段都有渗透。如数的整除中就渗透了子集和交集等数学思想。集合思想可使数学与逻辑更趋于统一，从而有利于数学理论与应用的研究。利用集合思想解决问题，可以防止在分类过程中出现重复和遗漏，使抽象的数学问题具体化。
㈣ 举例说明在小学数学教学中如何渗透集合的概念
在小学数学教学中如何渗透集合思想的几点做法
集合是近代数学中的一个重要概念。集合思想是现代数学思想向小学数学渗透的重要标志，在解决某些数学问题时，若是运用集合思想，可以使问题解决得更简单明了。集合论的创始人是德国的数学家康托（1845——1918），其主要思想方法可归结为三个原则，即概括原则、外延原则、一一对应原则。自集合论创立以来，它的概念、思想和方法已经渗透到现代数学的各个分支中，成为现代数学的基础。瑞士数学家欧拉（1707——1787）最早使用了表示两个非空集之间的关系的图，现称欧拉图。英国数学家维恩最早使用了另一种图即可以用于表示任意的几个集合（不论它们之间的关系如何，都可以画成同一样式），又称“维恩图”，用维恩图表示集合，有助于探索某些数学题的解决思路。
布鲁纳曾说，掌握基本的数学思想方法能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法不但对学生学习具有普遍的指导意义，而且有利于学生形成科学的思维方式和思维习惯。
集合思想包括概念、子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一一对应思想等，作为数学思想方法的一种，在教学中是具有很大的指导意义的。那么，在小学数学教学中我们应该如何应用集合思想进行教学活动呢?
一、集合概念在小学数学教学中的应用
集合思想的概念在教学中是不必向学生作解释的，教师主要指导学生看懂集合图的意思，会根据集合图来解题或者帮助解题。图形本身直观地应用了集合的表示方法——图示法，因此在小学低年级中运用这个方法对于教学是很有帮助的。
在认数教学中，教师要结合各种集合图，可以是选用书本上的，也可以是选用一些生活中常见的事物自己画。同时还可以反过来给学生一个数字，让学生画集合图，这样既可以让学生开动脑筋发挥自己的想象，也可以让学生更了解集合中的元素与基数概念的联系。
在日常教学中，教师还要让学生理解一些用来描述集合的常用术语，如“一些”、“一堆”、“一组”、“一群”等。比如说，在小学数学教材北师大版一年级（上册）的第四单元分类中，就出现了这么一张图，让学生观察，要求把玩具放一堆，文具放一堆,服装鞋帽放一堆,这种把具有同一种属性的东西放在一起，这就是集合的整体概念。
在认识0-10的十一个数字中，每个数字都有一张相应的集合图，也就是告诉学生，一个集合中有几个元素就用“几”来表示。如北师大版一年级（上册）第4页找一找的活动中“1”可以表示图里的一座房子；“2”可以表示图里的两个人。这就很形象的把集合中的元素与基数的概念有机的联系起来。
二、子集、交集、并集、差集、空集思想在小学数学教学中的应用
1、子集思想在小学数学教学中的应用
教学数的大小这一问题时，就可以应用子集思想。如北师大版二年级(下册)第36页试一试中,给出一些数，组成一个数的集合，元素有387、99、809、 345、1725、4300等。同时给出要求，先把给出的数分类，再比较大小。这把数分类就相当于是把整个数的集合中的元素，按要求分别把他们放入三个子集合中。（如下图） 对于这类问题，应用集合思想就能让学生非常直观、容易地理解。
2、 交集思想在小学数学教学中的应用
如有这么一道应用题：一个班有48人。班主任在班会上问：“谁做完了数学作业？”这时有42人举手。又问：“谁做完了语文作业？”这时有37人举手。最后又问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。请问：这个班语文、数学作业都做完的有几人？
一看这道题就会想到要用维恩图来算比较简单。画一个长方形表示全集，完成语文作业的学生集合（A），完成数学作业的学生集合（B），A、B有相交部分
因为A内的两部分表示人数和就是完成语文作业的人数（37人），所以A外、B内的那部分表示的人数为48-37=11（人），者是 完成了数学作业但没有完成语文作业的人数。因此，语文、数学两种作业都完成了的人数是42-11=31人。
教学公约数、公倍数这一内容时，也通常应用交集思想，如 ：
12的约数 18的约数
3、并集思想在小学数学教学中的应用
在小学一年级的教材中，并集被用于说明加法的意义，如北师大版一年级（上册）第22页解决“有几只铅笔”这个问题，一幅图中小朋友左手里拿了两只铅笔，右手里拿了三只铅笔，另一幅中小朋友把两只手合在一起，就是把左手和右手中的铅笔并在一起。2＋3＝5（只）
还有北师大版一年级(上册)第68页11～20各数的认识中，对于“11”,先把10根小棒捆成一捆，组成十位上的“1”，然后再数1根组成“11”了。同理在教学12、13、14、15等数时，也都应该采用并集思想。
又如，北师大版一年级(上册)第72页:9＋5＝? 教材中显示把5根小棒分成1根和4根,把1根和9根结合在一起，组成十根捆在一起，作为十位上的“1”，这也运用了并集思想。
4、差集思想在小学数学教学中的应用
在小学一年级的教材中，差集被用于说明减法的意义。如北师大版一年级（上册）第26页“摘果子”树上原有5个苹果，被小朋友摘走2个，就剩下树上（集合）的3个苹果（元素）：5－2＝3（个）
又比如说还是本页的“做一做”：图中总共有5个圆圈，其中4个圆圈用线划去，表示去掉的，就剩下5－4＝1（个）了。在教材中一般用线划去或虚线圈起来的都是要剪掉的部分.
5、空集思想在小学数学教学中的应用
空集表示这个集合没有元素。空集思想的应用主要出现在教学“0”的时候，如北师大版一年集（上册）第8页“小猫钓鱼”，每只小猫的袋子表示集合，袋子里的鱼表示元素。第一幅图里，袋子里有三条鱼，该集合里有3个元素；第二幅图里，袋子里有两条鱼，该集合里有2个元素；第三幅图里，袋子里有一条鱼，该集合里有1个元素；第四幅图里，袋子没有鱼，该集合中没有元素，也就是空集。
三、一一对应思想在小学数学教学中的应用
一一对应思想在教材中体现的较多，在比较两个集合所包含的元素的多少时就一定得用建立一一对应关系的方法来解决，同时，“一一对应”思想也是现代函数思想的基础。一一对应思想在小学数学教材中主要以两种形式呈现：第一种是比多少，第二种是由一个集合经过对应法则得到另一个集合。
在教学比多少时，教师首先要把集合中的元素一一的排列起来。如北师大版一年级（上册）第43页：
比 多
比 少
在教学第二种情况，一个集合经过对应法则得到另一个集合时，教师要向学生解释清楚对应法则是对已给出的集合中的每一个元素都起作用的。
如人教版三年级（下册）第23页
这类算式与算式的配对，也正是一一对应思想的应用。
数学教育学家波利亚说过：“数学教师的首要责任是尽其一切可能，来发展学生解决问题的能力。”教师在问题探索的教学中不能就题论题，授之以“渔”远比授之以“鱼”来的重要。这个“渔”就是指隐含于数学问题探索中的数学思想方法。学生只有逐步形成用数学思想方法指导思维活动，才会在遇到其它问题时胸有成竹，从容对待。新课标也指出：结合有关知识的教学，适当的渗透集合、函数等数学思想方法，以加深对基础知识的理解。作为数学教师，在教学中应当大胆地应用集合思想，让学生在学习中获得对集合思想的感性认识，并逐步形成运用集合思想的观念。
㈤ 如何给小学生传授集合思想
我国中小学数学教育一直进行着改革，改革的方法是“渗透、增加、删除”的六字方针，实现数学教育的现代化一直是数学教学改革的目标，在符合现代儿童实际和接受能力的基础上，尽早地在儿童的头脑中渗透部分现代数学的某些思想，应该是我们小学数学教师的一项重要任务。我们进入了知识信息化时代，儿童要在将来适应高科技发展，应提前学习数字化的电脑知识，而我认为像集合等数学思想是数学发展最重要的基础，在小学恰当地渗透学习，从小形成感性认识，是学生提早接触现代数学的必要环节。 下面就从集合思想的角度谈一谈小学数学中如何渗透现代数学思想。 一、概念的界定 （一）学术定义 1、集合思想 集合是指分散的人或物聚集到一起。在数学中，集合是指一组具有某种共同性质的数学元素。一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。所谓集合思想是指在数学思想中包含的应用集合知识的思想被称之为集合思想。 2、现代数学思想 所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓现代数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力能才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。 3、小学数学 小学数学是学习高等数学的基础，是学习离散数学、模糊数学的必备知识，因此小学数学类似于初等数学但又不完全是初等数学。初等数学在工具书中的解释是不涉及变量数学分支的统称。研究常量间的代数运算和不同形体内部及相互间的关系，分别形成了初等代数和初等几何，统称为初等数学。1 小学课程的主要内容，诸如算数、代数、几何、三角等统称为初等代数。2 因此，小学数学主要以初等数学为主要学习内容，同时穿插高等数学思想。 （二）适当渗透现代数学思想的意义 适当渗透一些内容和方法，在小学数学教学中，主要渗透的现代数学思想是：集合、对应、统计等。渗透这些思想是根据小学生的认知规律，采取形象直观的形式，在不出现这些现代数学的数学的术语、符号的前提下，使用直观图形进行渗透，让学生直观地受到潜移默化的影响。 二、小学数学教学中渗透现代数学思想的必要性 在小学数学教学中渗透现代数学思想有着不可估量的作用，不仅是学生思维发展的基础，也是教师教学的好助手。 （一）从心理学角度 在认知心理学里，数学思想属于元认知范畴，它对认知活动起着监控、调节作用，对培养能力起着决定性的作用。学习数学的目的“就意味着解题”（波利亚语），解题关键在于找到合适的解题思路，现代数学思想和方法 就是帮助构建解题思路的指导思想。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，提高学生的元认知水平，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。 （二） 从社会需求角度 数学知识本身是非常重要的，但它并不是惟一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。未来社会将需要大量具有较强数学意识和数学素质的人才。21世纪国际数学教育的根本目标就是“问题解决”。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法， 是未来社会的要求和国际数学教育发展的必然结果。 （三） 从素质教育角度 小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的因素是思维素质，而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键。如果将学生的数学素质看作一个坐标系，那么数学知识、技能就好比横轴上的因素，而数学思想方法就是纵轴的内容。淡化或忽视数学思想方法的教学，不仅不利于学生从纵横两个维度上把握数学学科的基本结构，也必将影响其能力的发展和数学素质的提高。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。 三、小学数学教材中蕴含的现代数学思想中集合思想的举例 （一）在小学教材中渗透集合思想的意义 在小学数学教学中渗透现代数学思想有着不可估量的作用。通过图形的观察、比较，使学生获得一些感性认识，加深学生对基础知识的理解，有利于培养学生的思维能力，有利于开发学生的智力，有利于进一步学习数学和现代科学技术。集合思想在是现代数学思想中占有很重要的地位，而小学教材中的知识又无时无刻地体现着集合思想，因此，在小学数学教材中渗透现代数学思想也提示着广大教师要重视现代数学思想的渗透。
㈥ 什么是数学中的集合思想
集合思想在高中数学中的应用
山东诸城 李国锋 王磊
集合是近代数学中的一个重要概念，集合思想已成为现代数学的理论基础，与高中数学的许多内容有着广泛的联系，中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以明了地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理。集合论的创始人是徳国数学家康托尔（G.Cantor，1845 - 1918）。他的集合思想的主要特征包括概括原则、外延原则、一一对应原则和实无穷思想。其概括原则用于造集，外延原则保证了集合的确定性，一一对应原则引出了基数概念，揭示了无穷集的本质特征。三个原则的采用，使数学中引入了实无穷思想。数学教师在教学中还可以运用集合思想建立数学概念系统，或在复习教学中帮助学生归纳、整理数学知识。对于数学学习来说，要帮助学生养成这样一种集合的思维习惯：善于把在某些方面有类似性质的对象（或满足某一条件的对象）放在一起视为一个集合，然后利用集合的有关概念或通过集合的有关计算来研究和解决问题。人教B版教材中更是注重了集合思想,下面谈谈教材在集合思想的突出应用：
应用一：中学数学中常见的集合有（1）数集；（2）方程（或方程组的）解集；（3）不等式（或不等式组）的解集；（4）点集。
只有深刻理解集合概念，明确集合中元素的属性，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题上下功夫,才能读懂用集合语言描述的数学命题，并顺利地用集合语言解答方程或不等式问题。
例1：集合M={y∣y=x2-1,x∈R},N={x∣y=},则M∩N等于（ ）
分析：集合M中的元素是y,它表示函数y=x2-1的值域，从而M={ y∣y≥-1}.集合N中的元素是x,它表示函数y=的定义域，从而N={ x∣ }.因此，M∩N={x∣}
例2：设f(x)=x2+ax+b,a,b∈R,A={x∣f(x)=x}={a},求a,b.
分析：A是方程f(x)=x的解集，A={a}表示方程有两个相等的实根a 。
方程即为x2+(a-1)x+b=0，又a是方程的解，由韦达定理可求a=,b=
更为重要的是，集合思想沟通了数和形的内在联系，使得由某个图形性质给出的点集和满足某性质P的实数对组成的集合建立起一一对应的关系，进而使中学数学能够用代数方法解答几何问题，能够对代数命题给出几何解释，还能够通过几何图形来解决代数问题。僻如新教材中球、椭圆、双曲线、抛物线等概念都是用集合定义的，形象又直观，便于学生理解。
例3：集合A={(x,y)∣y=x + m},B={(x,y)∣y=},如果A∩B是单元素集，求m的取值范围。
分析：集合A表示的是斜率为1的一组平行直线，集合B表示的方程变形为x2-y2=4(y≤0)，表示双曲线x2-y2=4在x轴下方的部分（包括两个交点），而A∩B是单元素集，则说明直线与半双曲线有一个公共点。如图：
将双曲线的一条渐近线y=x分别向上、向下平移，可得m的取值范围是m≤-2或0<m≤2。
集合的关系、集合的运算等都是从元素的角度予以定义的。因此，求解集合问题时，抓住元素的特征进行分析，就相当于牵牛抓住了牛鼻子。
应用二：主要表现为一个概念是另一个概念的一般化，或此概念是彼概念的特殊情形。
用集合的包含关系建立概念系统，可以培养学生善于将概念推广的研究精神，并能帮助学生对数学定理、法则、公式等的认识进一步系统化，从而提高学习质量。
如：{正方体}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}{棱柱}；数列与函数两概念；互斥事件与对立事件两概念等。
例4：给出四个命题：（1）各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱，（2）对角面是全等矩形的六面体一定是长方体，（3）有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，（4）长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是：
A .0 B.1 C.2 D.3
分析：借助集合间的关系，明确各概念的联系和区别。此题选A。
例5：数列{an}是等差数列，a1=50,d= -0.6，求此数列的前n项和的最大值。
分析：数列的定义域是正整数集（或它的有限子集{1、2、3、4、……n}），因此可把数列作为特殊函数理解。
思路1：表示等差数列的孤立的点在直线上，因此可应用单调性 。
由a1=50,d= -0.6,得an= -0.6n+50.6,令an≤0 ,有n≥84.3 。又 n,则n≥85,即从第85项起以后各项均小于0。所以(Sn)max=S84=2108.4
思路2：等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数,可用二次函数的方法处理 。
Sn=50n +,当n取接近于的自然数，即n=4时，Sn达到最大值 S84=2108.4
例6：若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标，求点P在圆内的概率。（人教B版必修3，118页第3题）
分析：记点P在圆内为事件A，则A是基本事件空间的子集。基本事件总数是,A包含的基本事件有（1，1）（2，2）（1，3）（1，2）（2，3）（3，1）（3，2）（2，1）共8个，.
应用三：有许多数学问题，它的解是由几个条件决定的，每一个条件都可以确定某种元素的一个集合，它们的交集的元素就是问题的解，对这样一类数学问题，我们常可以运用求交集的思想来试错与筛选。
例7：求函数y=的定义域。（人教B版必修1，86页第4题）
分析：函数的定义域是指使式子有意义的集合，由多个式子经过代数运算而成的函数，求其定义域需取多个式子有意义的交集。
由得
所以函数的定义域是（）。
例8：已知函数y=在[-1,+∞]上是减函数，求a的取值范围.
分析：本题含着两层意思：3x2-ax+5>0在[-1,+∞]上恒成立，t=3x2-ax+5在[-1,+∞]上是增函数，实数a的范围是两者的交集。
由题意得：，且满足x=-1时3x2-ax+5>0,综上得 -8。
而有些需要分类讨论的问题，解题过程往往过于繁杂，此时运用补集的思想(即“正难则反”思想)去解答，常常可以简化讨论。
例9：掷3枚硬币，至少出现一个正面向上的概率是 （人教B版必修3，131页第2（3）题）
分析：“至少出现一个正面向上”的事件含有1个向上，2个向上，3个向上3类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“一次也不出现正面向上”即“全是反面”的概率。
P＝1－＝。
例10：如果一元二次方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根，确定这个结论成立的充要条件。（人教B版选修2—1，31页第6题）
分析：“方程至少有一个负的实数根”有一个负根，两个负根两类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“方程没有负的实数根”。
由有，。
又 a无解。
因此，。
布鲁纳说过，掌握数学思想可使数学问题更容易理解和记忆，领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路”。本部分内容含有丰富的数学思想，例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、正难则反的思想等等，显得十分活跃。在教学过程中，注意这些数学思想的挖掘、提炼和渗透，不仅可以帮助学生掌握知识的本质，驾驭问题的求解，而且对于开发学生的智力，培养学生的能力，优化学生的思维品质，提高课堂教学的效果，都具有十分重要的意义。
㈦ 集合思想
集合是近代数学中的一个重要概念,集合思想已成为现代数学的理论基础,与高中数学的许多内容有着广泛的联系,中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素,用集合语言可以明了地表述数学概念,准确、简捷地进行数学推理.
应用一：中学数学中常见的集合有（1）数集；（2）方程（或方程组的）解集；（3）不等式（或不等式组）的解集；（4）点集.
应用二：主要表现为一个概念是另一个概念的一般化,或此概念是彼概念的特殊情形.
应用三：有许多数学问题,它的解是由几个条件决定的,每一个条件都可以确定某种元素的一个集合,它们的交集的元素就是问题的解,对这样一类数学问题,我们常可以运用求交集的思想来试错与筛选.
布鲁纳说过,掌握数学思想可使数学问题更容易理解和记忆,领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路”.本部分内容含有丰富的数学思想,例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、正难则反的思想等等,显得十分活跃.在教学过程中,注意这些数学思想的挖掘、提炼和渗透,不仅可以帮助学生掌握知识的本质,驾驭问题的求解,而且对于开发学生的智力,培养学生的能力,优化学生的思维品质,提高课堂教学的效果,都具有十分重要的意义